Способ формирования кодовых последовательностей циклического кода с использованием образующего полинома

При формировании кодовых последовательностей несистематического ЦК необходимо выполнить умножение передаваемого информационного блока Q(x) степени (k-1) на порождающий полином с приведением по модулю два коэффициентов при слагаемых с одинаковыми показателями степеней. Таким образом, F_i(x)=Q(x)∙P(x).

Пример 2.4. Сформировать кодовую последовательность несистематического ЦК с параметрами (n,k,d₀)=(10,5,4), если P(x)=x⁵+x⁴+x²+x+1.

Решение:

1) выбираем информационный блок Q(x) следующего вида Q(x)=x⁴+x²+x= 10110;

2) формируем кодовую последовательность по правилу F(x)= Q(x)∙P(x)= (x⁴+x²+x)∙(x⁵+x⁴+x²+x+1)=x⁹+x⁸+x⁷+x⁶+x+1 = 1111000010. В данной кодовой последовательности нет четкого (явного) деления на блоки информационных и проверочных символов.

Сущность построения систематического ЦК с использованием образующего полинома состоит в следующем:

1) передаваемый информационный блок из «k» двоичных символов представляется многочленом Q(x) степени (k-1);

2) многочлен Q(x) умножается на член Р(х) с максимальной степенью x^l=x^n-k, т. е. Q(x)∙x^l, что эквивалентно приписыванию к Q(x) со стороны младших разрядов l =n-k нулевых двоичных символов (разрядов);

3) выполняется деление произведения Q(x)∙x^l на образующий полином Р(х) до получения остатка R(x) со степенью меньшей максимальной степени образующего полинома Р(х). Данный остаток R(x) представляет собой сформированные проверочные символы;

4) дописать остаток R(x) к произведению Q(x)∙x^l. Следовательно, процесс формирования кодовой последовательности ЦК с использованием образующего полинома можно записать так:

F(x) = Q(x)∙x^l/P(x) + Q(x)∙x^l = R(x) + Q(x)∙x^l. (2.8)

Пример 2.5. Сформировать кодовую последовательность систематического ЦК с параметрами (n,k,d₀)=(13,8,5).

Решение:

а) так как k=8, то выбираем информационный многочлен Q(x)=х⁷+х⁵+x⁴+x²+1, а максимальную степень образующего полинома принимаем равной l=n-k =13-8=5. Выбираем табулированный образующий полином вида P(x)=x5+x3+1;

б) далее в соответствии с вышерассмотренными операциями получаем:

1) Q(x)∙x^l=Q(x)∙x⁵=(х⁷+х⁵+x⁴+x²+1)∙х⁵=х¹²+х¹⁰+x⁹+x⁷+^х5;

2) ;

3) следовательно

F(x)=R(x)+Q(x)∙x^l=x²+x⁴+x⁵+x⁷+x⁹+х¹⁰+х¹²=0010110101101;

старшие разряды (двоичные символы) кодовой последовательности представлены справа.