Понятие ранга

В -матрице выберем строк с номерами и столько же столбцов с номерами . Определитель матрицы из элементов, находящихся в этих строках и столбцах, обозначим и назовем минором -го порядка матрицы . Например, у матрицы три минора 2-го порядка:

, и .

Рангом (ненулевой) матрицы называется наибольший из порядков ненулевых миноров. Ранг матрицы мы будем обозначать . Таким образом, равенство означает, что у матрицы есть ненулевой минор порядка , а все миноры больших порядков, если они имеются, равны нулю (см. пример 4.2.1). Ранг характеризует степень «вырожденности» матрицы. Например, для квадратной матрицы -го порядка крайние случаи: нулевая матрица самая «вырожденная», у нее все миноры нулевые и естественно считать 0; и невырожденная матрица с , ее ранг .

Так как миноров у матрицы даже небольших размеров много, то нахождение ранга по определению связано с громоздкими вычислениями. Для нахождения ранга можно применять элементарные преобразования матриц, аналогичные элементарным преобразованиям систем, описанным в п. 3.1.3:

а) перестановки любых двух строк местами;

б) прибавление к строке другой строки, умноженной на число;

в) удаление строки, состоящей из нулей;

г) те же действия, что и в пунктах а)–в), для столбцов.

При этих преобразованиях ненулевые миноры переходят в ненулевые и потому они не меняют ранга. После преобразований получим матрицу вида

,

у которой минор

и потому ранг равен (см. пример 4.2.2).

Матрицы и называются эквивалентными (обозначение ), если у них одинаковый ранг: .