Б) Метод контурных токов

В этом методе отыскиваются контурные токи, то есть токи, замыкающиеся в независимых контурах. Выбираем независимые контуры (их p-q + 1). Задаем произвольно направление обходов контуров и считаем, что они совпадают с положительными направлениями контурных токов. Обозначим через сумму ЭДС контура k. ЭДС, направление которых совпадает с направлением обхода берем со знаком +, в противном случае со знаком -. Обозначим через – сумму сопротивлений контура k и назовем его собственным сопротивлением контура. Суммы сопротивлений в общей ветви для контуров k и m обозначим через и назовем их общими сопротивлениями контуров k и m.

По методу контурных токов уравнения индуктивно-связанных цепей записываются в форме, обычной для случая отсутствия взаимной индукции. Взаимная индукция учитывается в выражениях для собственных и общих сопротивлений контуров.

В расcматриваемой схеме в качестве независимых контуров возьмем 1, 2 и 3 с указанными направлениями обхода. В общем виде уравнения для этих контуров записываются так:

,

,

.

Контурные токи снабжены двойными индексами, чтобы не путать их с токами в ветвях.

Найдем собственные сопротивления контуров.

, ,

.

В выражении для входит слагаемое . Контурный ток , проходит по катушке 4 от * и индуктирует ЭДС взаимоиндукции в катушке 5, также направленную от *, то есть против направления обхода (по этому ЭДС равна ). Тот же ток, пройдя по катушке к *, индуцирует ЭДС в катушке 4, направленную к ее *, то есть опять против направления обхода (по этому эта ЭДС равна ). Взаимная индуктивность между катушками 4 и 5 учитывается слагаемым .

Рассмотрим слагаемое . Ток , проходя по катушке 3 от *, индуцирует в катушке 5 ЭДС, также направленную от *, то есть против направления обхода, поэтому эта ЭДС имеет знак -. Тот же ток проходит в катушке 5 к ее *, по этому индуцируемая им ЭДС в катушке 3 также будет направлена к ее *, то есть против направления обхода. Следовательно, эта ЭДС будет со знаком -. Ток в катушках 3 и 4 проходит от их звездочек, поэтому соответствующая ЭДС взаимоиндукции имеет знак + и эта ЭДС учитывается слагаемым . По этой причине ЭДС самоиндукции в этих катушках имеет знак +. В катушке 5 если бы ток был направлен от *, то ЭДС самоиндукции была бы направлена от *, по контору ток направлен к *, поэтому ЭДС самоиндукции будет направлена к *, т.е. по обходу контура.

Найдем общие сопротивления контуров.

.

Первое слагаемое записано со знаком + т.к. токи в катушках 4 и 5 направлены от звездочек.

.

В первом слагаемом знак –, т.к. направлен к *. Во втором и третьем слагаемых +, т.к. направлен от *, следовательно, в катушке 5 ЭДС также направлена от *, т.е. совпадает с направлением обхода контура 2.

.

Для ЭДС: .

Решения системы контурных токов выглядит следующим образом

,

- алгебраические дополнения, полученные из детерминанта путем исключения k -ой строки и m -ого столбца и умножением его на . После того как вычислены контурные токи, находят токи в ветвях по первому закону Кирхгофа.

Пример

Дано: необходимо рассчитать схему, показанную на рис. 5.15.

Определить токи во всех ветвях и построить векторную и топографическую диаграмму, приняв потенциал точки 0 равным 0.

Применим метод уравнений Кирхгофа. Задаем произвольно положительное направление токов в ветвях и направления обхода контуров.

,

Во втором слагаемом знак -, т.к. ток направлен к * в контуре 2.

Решая эти уравнения находим:

Для построения векторной диаграммы найдем падение напряжения на каждом участке цепи.