Преобразование схем при исключении узлов

Если решать систему узловых уравнений для схемы путем исключения неизвестных, то на каждом этапе решения исключение потенциала узла соответствует исключению одного узла схемы.

Пусть матричное узловое уравнение (2.16) записано в виде

, (2.49)

где - квадратные неособенные подматрицы (, ). Уравнение (2.49) соответствует разбиению матрицы коэффициентов уравнений на блоки.

Так как то из (2.49) следует

(2.50)

Величину подставим во второе уравнение

,

. (2.51)

Давайте обозначим

. (2.52)

Тогда имеем

. (2.53)

Соотношение (2.53) можно считать матричным узловым уравнением схемы, полученной путем исключения узлов, потенциалы которых составляют матрицу

Если - неособенная квадратная матрица, то можно записать

, (2.54)

где

, (2.55)

(2.56)

Уравнение (2.54) соответствует матричным узловым уравнениям схемы, полученной путем исключения узлов, потенциалы которых составляют матрицу .

Схемы, соответствующие выражениям (2.53) или (2.54) может быть получены с помощью выражений (2.51) или (2.55). Эти схемы эквивалентны исходной схеме в том смысле, что имеют одинаковые с ней потенциалы узлов, составляющие матрицу или матрицу .

Матрица эквивалентной схемы, как видно из (2.51) и (2.55), не зависит от параметров активных элементов (матрицы ). Преобразования активных цепей отличаются от преобразований пассивных цепей дополнительной операцией преобразования активных элементов по выражениям (2.52) или (2.56).

Последовательное исключение узлов схемы может быть выполнено путем многократного применения преобразования звезды в треугольник. На рис. 2.42 дана схема m -лучевой активной звезды.

Для схемы на рис. 2.42 справедливо уравнение

,

где

-неопределенная матрица узловых проводимостей, - матрица узловых потенциалов всех узлов, - матрица узловых токов.

Тогда

В соответствии с (2.55) имеем

(2.57)

В соответствии с (2.56) имеем

(2.58)

По матрицам (2.57) и (2.58) можно построить схему, эквивалентную звезде. Эта схема имеет вид многоугольника (рис. 2.43). Проводимость ветви , соединяющей узлы j, l многоугольника, равна элементу (j, l) матрицы (2.57), взятого с противоположным знаком

(2.59)

Собственная проводимость каждого узла многоугольника равна соответствующему диагональному элементу матрицы (2.57).

Пассивные параметры эквивалентного многоугольника определяются однозначно. Активные параметры (ЭДС ветвей) полного многоугольника не может быть найдены единственным образом, т.к. число строк полного многоугольника m (m -1)/2 больше числа независимых элементов матрицы узловых токов (2.58). Эта матрица имеет (m -1) независимых элементов.

Чтобы активный многоугольник с проводимостями ветвей (2.57) был эквивалентен активной звезде, достаточно включить по одному соответствующему источнику ЭДС в любую из m -1 ветвей. Если в качестве этих ветвей выбрать ветви, исходящие из узла j, то ЭДС определяются на основании равенства (2.58)

.

Беря во внимание (2.59) получаем следующее выражение

(2.60)

Аналогично решается задача преобразования звезды, ветви которой содержат источники тока. В этом случае источник тока заменяется эквивалентным источником ЭДС.

Если звезда пассивна, то формула (2.59) для проводимостей ветвей эквивалентного многоугольника остается справедливой. В случае трех лучевой звезды (рис. 2.44) и эквивалентного треугольника (рис. 2.45) проводимости определяются соотношениями

(2.61)

или

(2.62)

С помощью соотношений (2.50) - (2.55) можно последовательно исключать по одному узлу или сразу группу узлов.

2.12. Преобразование схем при исключении контуров