Принцип наложения

Ток в любой ветви линейной цепи равен сумме токов, обусловленных каждым источником, действующим в этой цепи, в отдельности. Т.е. токи ветвей линейной цепи удовлетворяют принципу наложения (суперпозиции).

Контурные уравнения имеют вид

, (2.29)

где

. (2.30)

Токи в ветвях и контурные токи связаны соотношением

.

Подставим сюда ток , полученный из (2.29)

.

Внесем (2.30) в полученное выражение

. (2.31)

Обозначим

,

,

здесь - матрица входных и взаимных проводимостей, - матрица коэффициентов передачи тока.

В линейных цепях реакции пропорциональны возмущениям. Поэтому удобно рассматривать реакцию, отнесенную к возмущению, если возмущение постоянная величина. Отношение реакции к возмущению, , называется в общем случае передаточной функцией, может иметь различную размерность. Если и представляют напряжения (токи), то называется коэффициентом передачи напряжения (тока). Если - напряжение (ток), а - ток (напряжение), то отношение называется передаточным или взаимным сопротивлением (проводимостью). В частном случае, когда и напряжение и ток одной ветви, отношение называется входным сопротивлением (проводимостью). Теперь (2.31) записывается следующим образом

. (2.32)

Матрицы и имеют порядок , поэтому (2.32) эквивалентно алгебраическим выражениям для токов ветвей

, . (2.33)

Это соотношение показывает, что ток в любой ветви равен алгебраической сумме токов, обусловленных каждым источником в отдельности.

Элементы равны

,

если в цепи действует только один источник ЭДС , а остальные источники исключены, т.е. источники ЭДС замкнуты, источники тока разомкнуты. При проводимость называется входной проводимостью ветви . При проводимость называется взаимной проводимостью ветвей и . Причем, , т. е. матрица симметрична.

Безразмерные элементы , называются коэффициентами передачи тока. Причем

,

если в цепи действует только один источник тока , а все остальные источники исключены.

Принцип наложения справедлив и для токов в сопротивлениях .

, (2.34)

где - одинарная матрица. Таким образом, для токов в сопротивлениях можно использовать соотношение вида (2.33).

Можно убедиться в применимости принципа наложения для напряжений ветвей и падений напряжений на сопротивлениях .

, из (2.15) и (2.16) имеем

.

Следовательно

. (2.35)

Обозначим

,

,

здесь - матрица входных и взаимных сопротивлений, размерности ; - матрица коэффициентов передачи напряжения порядка . Соотношение (2.35) получает вид

. (2.36)

(2.36) эквивалентно алгебраическим выражениям

, ,

т. е. напряжение любой ветви равно сумме составляющих, обусловленных каждым источником по отдельности.

Элементы имеют размерность сопротивления, причем,

,

если в цепи действует только один источник тока , а все другие источники исключены. При сопротивление называется входным сопротивлением ветви . При сопротивление называется взаимным сопротивле нием ветвей и , причем .

Далее , если в цепи действует один источник ЭДС , а все остальные исключены.

Принцип наложения применим также для контурных токов и узловых потенциалов. Этот принцип обусловлен линейностью уравнений, описывающих цепь, и справедлив для любых величин, связанных линейной зависимостью. Следовательно, им нельзя пользоваться для расчета мощностей, т. к. мощности являются нелинейными функциями тока или напряжения.

Пример.

Вычислить входные и взаимные проводимости и сопротивления, коэффициенты передачи тока и напряжения для цепи рис. 2.19.

Для схемы (рис.2. 20) имеем

; ; ; .

; ; ; ; ; .

В схеме (рис. 2.21) имеем

; ; ; ; ; . В соответствие с формулой имеем

; ; ; ;

; ; ; ; .