Расчет простых цепей постоянного тока

Электрические цепи, схема которых не является простым сочетанием последовательного и параллельного соединений участков цепи, называются сложными цепями.

а). Матричная форма закона Ома. Каждая ветвь цепи может содержать сопротивление , идеальный источник ЭДС и идеальный источник тока , (рис. 2.5). Иногда источники тока не изображают, а показывают только токи источников в соответствующих узлах (рис. 2.6).

Ток в сопротивлении

, (2.1),

где - ток в -ой ветви.

Для указанных положительных направлений падение напряжения уменьшает, а ЭДС увеличивает потенциал в точке :

,

т. к. , то

или (2.2)

отсюда

(2.3)

Формулы (2.2) и (2.3) представляют выражение закона Ома для узла цепи с источниками ЭДС и тока.

Если ветвь содержит ряд последовательно соединенных сопротивлений, источников ЭДС и параллельно соединенных источников тока, то в (2.2) и (2.3) вместо следует понимать суммарное сопротивление, а вместо и - алгебраическую сумму ЭДС и токов источников. При этом с положительным знаком записывают ЭДС и токи источников, ориентированные относительно , так как показано на рис. 2.5 (положительные направления , и принимают совпадающими и, как правило, указывают одной стрелкой на соответствующей ветви графа).

Если схема цепи содержит ветвей, то полагая в (2.1) получим -уравнений, которые можно записать в матричной форме

или

, (2.4)

где

- диагональная матрица сопротивлений ветвей, элемент, находящийся на пересечении -ой строки и -ого столбца, равен сопротивлению -ой ветви.

Аналогично из (2.3) имеем

, (2.5)

где

- диагональная матрица проводимостей ветвей. Т.к. , то матрицы и - взаимно обратны, т.е.

, .

Формулы (2.4) и (2.5) представляют выражение закона Ома в матричной форме.

Пример. Используя закон Ома, определить токи на всех участках цепи (рис.2.7). Рассматриваем схему как параллельное соединение двух ветвей, присоединенных к двум узлам (1) и (2). Одна ветвь содержит элементы , и , другая , и .

Для первой ветви имеем

.

Для второй ветви

.

Т.к. , , то

.

Отсюда

,

.

б). Система уравнений Кирхгофа.

Уравнения, составленные по первому закону Кирхгофа для узлов, имеют вид

, (2.6)

где - матрица соединений порядка , , - матрица-столбец токов ветвей (имеет элементов).

Уравнения, составленные по первому закону Кирхгофа для сечений

, (2.7)

где - матрица сечений порядка , . Матрицы и составляются для ориентированного графа схемы. Каждому из уравнений (2.6) или (2.7) соответствует независимых алгебраических уравнений.

Уравнения, составленные по второму закону Кирхгофа,

, (2.8)

- матрица контуров порядка , - матрица-столбец напряжений ветвей (имеет элементов). Уравнению (2.8) соответствуют уравнений, которые являются независимыми.

Уравнения (2.6) или (2.7), (2.8) вместе с (2.4) или (2.5) позволяют определить токи во всех ветвях цепи. Однако целесообразно видоизменять уравнения Кирхгофа. В соответствии с (2.1) запишем

,

где - матрица-столбец (его элемент в -ой строке ). Тогда из (2.6) следует

. (2.9)

Произведение дает матрицу-столбец, элемент -ой строки этой матрицы равен сумме токов в сопротивлениях ветвей, присоединенных к узлу ; при этом с положительным знаком записывают токи, направленные от узла. Произведение дает матрицу-столбец, элемент -ой строки этой матрицы равен сумме токов источников тока ветвей, присоединенных к узлу ; при этом с положительным знаком записывают токи, направленные к узлу.

Таким образом, (2.9) представляет матричную запись первого закона Кирхгофа. (2.9) соответствуют уравнений (независимых).

Аналогично можно записать и (2.7)

(2.10)

Умножим обе части (2.4) на матрицу и учтем (2.8), тогда

или

. (2.11)

Произведение дает матрицу столбец. Элемент -ой строки равен сумме напряжений на сопротивлениях ветвей, из которых состоит контур . Произведение дает матрицу-столбец, -ый элемент которой равен алгебраической сумме ЭДС -ого контура. Таким образом, (2.11) представляет матричную запись второго закона Кирхгофа. (2.11) соответствуют уравнений (которые являются независимыми). Элементы матрицы записывают с положительным знаком, если ориентация их тока, как на рис. 2.5.

Расчет цепи с помощью уравнений Кирхгофа сводится к совместному решению уравнений (2.9) и (2.11) или (2.10) и (2.11). Как правило, искомыми являются токи в сопротивлениях , при известных , , .

В схеме цепи могут быть ветви, содержащие только идеальные источники тока или ЭДС. Если уравнения по законам Кирхгофа записываются непосредственно по схеме без применения равенства (2.11), то наличие ветвей с идеальными источниками не вносит никаких изменений.

Если при составлении уравнений по второму закону Кирхгофа применить матричное равенство (2.11), то ветвям, содержащим только идеальные источники тока, соответствуют диагональные элементы матрицы . В этом случае схему необходимо преобразовать. Ветвь с источником тока включена между узлами и (рис. 2.8). Преобразуем ее к схеме, изображенной на рис. 2.9. Уравнение (2.11) составляют для схемы на рис. 2.9. Следует заметить, что такое преобразование уменьшает число ветвей и контуров схемы.