Ряды Маклорана и Тейлора дифференцируемых функций

Пусть функция f (x) бесконечно дифференцируема в некоторой окрестности точки a. Формальный ряд

называется рядом Тейлора функции f в точке a.

В случае, если a = 0, этот ряд также называется рядом Макло́рена.

• Если f есть аналитическая функция, то её ряд Тейлора в любой точке a области определения f сходится к f в некоторой окрестности a.
• Существуют бесконечно дифференцируемые функции, ряд Тейлора которых сходится, но при этом отличается от функции в любой окрестности a. Например, Коши предложил такой пример:

У этой функции все производные в нуле равны нулю, поэтому коэффициенты ряда Тейлора в точке a = 0 равны нулю.

Формула Тейлора используется при доказательстве большого числа теорем в дифференциальном исчислении. Говоря нестрого, формула Тейлора показывает поведение функции в окрестности некоторой точки.

Теорема:

Пусть функция f (x) имеет n + 1 производную в некоторой окрестности точки a, Пусть Пусть p — произвольное положительное число, тогда: точка при x < a или при x > a: