Определённый интеграл и способы его вычисления

Определённый интеграл — аддитивный монотонный нормированный функционал, заданный на множестве пар, первая компонента которых есть интегрируемая функция или функционал, а вторая — область в множестве задания этой функции (функционала).

Данное выше определение интеграла при всей его кажущейся общности в итоге приводит к привычному пониманию определённого интеграла, как площади подграфика функции на отрезке.

Пусть f (x) определена на [ a; b ]. Разобьём [ a; b ]на части с несколькими произвольными точками a = x ₀ < x ₁ < x ₂ < x_n = b Тогда говорят, что произведено разбиение R отрезка [ a; b ] Далее выберем произв. точку , i = 0, Определённым интегралом от функции f (x) на отрезке [ a; b ]называется предел интегральных сумм Θ _R при , если он существует независимо от разбиения R и выбора точек ξ _i, т.е. (1) Если существует (1), то функция f (x) называется интегрируемой на [ a; b ] – определение интеграла по Риману.

• 
• a – нижний предел.
• b – верхний предел.
• f (x) – подынтегральная функция.
• λ _R - длина частичного отрезка.
• σ _R – интегральная сумма от функции f (x) на [ a; b ] соответствующей разбиению R.
• λ _R - максимальная длина част. отрезка.

Определение интеграла на языке , δ:(по "Коши") Число I – называется определённым интегралом от f(x) на [ a; b ], если для любого ε>0 существует δ=δ(ε)>0: для любого разбиения R отрезка [ a; b ]: λ_R < δ, выполняется неравенство: |I- σ_R | = |∑^n-1_i=0f(ξi) Δxi - I| < ε при любом ξi є [ xi; xi+1] Тогда I = ∫_a^bf(x)dx

Определённый интеграл как площадь фигуры

Определённый интеграл численно равен площади фигуры, ограниченной осью абсцисс, прямыми x = a и x = b и графиком функции f (x).