Интегральные оценки качества

Интегральные оценки дают обобщенную оценку быстроты затухания и величины отклонения регулируемой величины, в виде единого числового значения.

Находят применение первые три ИТ-оценки из перечисленных в списке:

1. I ₁ и I ₂ - линейные ИТ-оценки (не чувствительны к высшим производным координат САР).
2. I и I' - квадратичные ИТ-оценки (первая не чувствительна к высшим производным координат САР; вторая – к неподвижному режиму).
3. I + T ₁² I' - улучшенная квадратичная ИТ-оценка (чувствительна к постоянной и к скоростной составляющим в движении координат САР).
4. I + T ₁² I' + T ₂⁴ I'' +... - ИТ-оценки более высоких порядков (чувствительны к постоянной составляющей в движении координат САР, к их скорости, к ускорению,...).

Пусть имеем переходные функции h (t).

Рассмотрим линейные ИТ-оценки:

.

Очевидно, что чем меньше значение оценки I ₁ или I ₂, тем лучше переходный процесс, но:

1. Оценка I ₁ не может применяться к колебательному переходному процессу.
2. Аналитическое вычисление оценки I ₂ по коэффициентам уравнения ошибки затруднено.
3. Одно значение оценки I ₂ может соответствовать переходным процессам с разной колебательностью (если совпадают мажоранты и миноранты).

Ограничения "a" и "b" для оценок I ₁ и I ₂ преодолеваются квадратичными ИТ-оценками I и I':

.

Заметим, что оценку I' можно получить нахождением оценки I, если подать на вход САР не ступенчатую 1(t), а дельта функцию d(t)=1'(t). Применение оценки I' ограничено тем, что она не чувствительна к установившемуся значению ошибки x _.

Ограничение "c" и другие ограничения оценок I ₁, I ₂, I и I' снимаются улучшенной квадратичной ИТ-оценкой:

,

где: x ₀ - начальное значение отклонения в переходном процессе; I + T ₁² I' – не формула, а составной символ обозначения данной ИТ-оценки.

Очевидно, что I + T ₁² I' будет минимальна при T ₁ x' + x = (T ₁ p +1) x = 0. Решение этого ДУ есть экспонента: , а .

Т.е. улучшенная квадратичная ИТ-оценка I + T ₁² I' будет иметь минимум при приближении переходной функции к экспоненте с заданной постоянной времени T ₁.

Можно использовать улучшенные ИТ-оценки более высоких порядков. Например:

.

Здесь оценка будет иметь минимум, только при перемещениях координат САР с определенными скоростью и ускорением, которые задаются постоянными времени T ₁ и T ₂ соответственно. Идея другого способа выбора параметров оценки заключена в том, что коэффициенты ДУ второго порядка можно выразить в виде затухания z и резонансной частоты q, которыми должна обладать настраиваемая САР.