Критерий устойчивости Найквиста

Чтобы система в замкнутом состоянии была устойчивой необходимо и достаточно, чтобы при изменении w от -¥ до +¥ годограф разомкнутой системы W (j w) (АФХ), поворачиваясь вокруг начала координат по часовой стрелке, охватил точку (-1, j 0) столько раз, сколько корней в правой полуплоскости содержит знаменатель W (j w).

Примечания:

1. Если корней в правой полуплоскости нет, то годограф W (j w) не должен охватить точку
   (-1, j 0).
2. Неустойчивая система в разомкнутом состоянии может быть устойчивой в замкнутом состоянии. И наоборот.
3. Годограф W (j w) всегда начинается на оси "+1". Но при порядке астатизма равном r, по причине устремления W (j w) к ¥ (при w®0), видимая часть годографа появляется только в квадранте r, отсчитанном по часовой стрелке.

Док-во:

Рассмотрим ПФ для статической САР сдвинутую на величину (-1, j 0):

W ₁(s) = 1+ W (s) = Q (s)/ Q (s) + R (s)/ Q (s) = D (s)/ Q (s),

в ней D (s) - характеристический полином, Q (s) пусть не имеет корней в правой полуплоскости (пусть W (s) устойчива).

Рассмотрим угол поворота годографа W ₁(s). Он равен j = j₁(D (j w)) - j₂(Q (j w)). Поскольку степень полинома R (s) всегда меньше степени полинома Q (s), то степени полиномов числителя и знаменателя ПФ W ₁(s) равны. Следовательно при изменении w от -¥ до +¥: j₁(D (j w))= n p - (по критерию Михайлова), j₂(Q (j w))= n p - (по предположению об отсутствии корней в правой полуплоскости у полинома Q (s)). Т.е. j= n p- n p=0. Другими словами для устойчивости САР в замкнутом состоянии W ₁(j w) не должна охватывать начала координат, а функция W (j w) - точку (-1, j 0).

Если знаменатель будет содержать l корней в положительной полуплоскости, то угол поворота годографа W (j w) должен составить величину:

j = j₁(D (j w)) - j₂(Q (j w)) = n p - [(n - l)p - l p] = l 2p,

что и требовалось доказать.