Начисление сложных годовых процентов

Формула наращения. В средне- и долгосрочных финансово-кредитных операциях, если проценты не выплачиваются сразу после их начисления, а присоединяются к сумме долга, приме­няют сложные проценты (compound interest). База для начисления сложных процентов в отличие от простых не остается постоян­ной — она увеличивается с каждым шагом во времени. Абсо­лютная сумма начисляемых процентов возрастает, и процесс увеличения суммы долга происходит с ускорением. Наращение по сложным процентам можно представить как последователь­ное реинвестирование средств, вложенных под простые про­центы на один период начисления {running period). Присоедине­ние начисленных процентов к сумме, которая послужила базой для их начисления, часто называют капитализацией процентов.

Найдем формулу для расчета наращенной суммы при усло­вии, что проценты начисляются и капитализируются один раз в году (годовые проценты). Для этого применяется сложная став-ка наращения. Для записи формулы наращения применим те же обозначения, что и в формуле наращения по простым про­центам:

Р — первоначальный размер долга (ссуды, кредита, капита­ла и т.д.),

S — наращенная сумма на конец срока ссуды,

п — срок, число лет наращения,

/ — уровень годовой ставки процентов, представленный де­сятичной дробью.

Очевидно, что в конце первого года проценты равны вели­чине Pi, а наращенная сумма составит Р + Pi = Р(\ + /). К кон­цу второго года она достигнет величины Р(\ + /) + Р(1 + /)/' = = Р(\ + О² и т.д. В конце л-го года наращенная сумма будет равна

S= P(\ + i)ⁿ.

1_р = Р[(\ + /Г - (1 + л/)]. (3.3)

Как показано выше, рост по сложным процентам представ­ляет собой процесс, соответствующий геометрической прогрес­сии, первый член которой равен Р₉ а знаменатель — (1 + /). Последний член прогресии равен наращенной сумме в конце срока ссуды. Графическая иллюстрация наращения по слож­ным процентам представлена на рис. 3.1.

О п On

S = 1 000 000(1 + 0.155)⁵ = 2055464,22 руб.

Как видим, величина множителя наращения зависит от двух параметров -/ил. Следует отметить, что при большом сроке наращения даже небольшое изменение ставки заметно влияет на величину множителя. В свою очередь очень большой срок приводит к устрашающим результатам даже при небольшой процентной ставке. Здесь уместна следующая иллюстрация. Ос­тров Манхэттен, на котором расположена центральная часть Нью-Йорка, был куплен (а точнее выменен) за 24 долл.¹ Стои­мость земли этого острова 350 лет спустя оценивалась пример­но в 40 млрд долл., т.е. первоначальная сумма увеличилась в 1,667 х 10⁹ раз! Такой рост достигается при сложной ставке, равной всего 6,3 % годовых.

Очевидно, что очень высокая (инфляционная) процентная ставка может быть применена только для короткого срока. В противном случае результат наращения окажется бессмыслен­ным. Например, уже при / = 120% (а такая инфляционная став­ка не столь уж давно наблюдалась в России, правда для кратко­срочных ссуд) и п = 10 имеем чудовищный по размеру множи­тель наращения (1 + 1,2)¹⁰ = 2656.

Формула наращения по сложным процентам (3.1) получена для годовой процентной ставки и срока, измеряемого в годах. Однако ее можно применять и при других периодах начисле­ния. В этих случаях / означает ставку за один период начисле­ния (месяц, квартал и т.д.), ая- число таких периодов. На­пример, если i — ставка за полугодие, то п — число полугодий и т.д.

Формулы (3.1)—(3.3) предполагают, что проценты на про­центы начисляются по той же ставке, что и при начислении на основную сумму долга. Усложним условия начислений процен­тов. Пусть проценты на основной долг начисляются по ставке /, а проценты на проценты — по ставке г * / В этом случае

S = Р + А[1 + (1 + г) + (1 + г)² +...+ (1 + г)"""¹].

Ряд в квадратных скобках представляет собой геометриче­скую прогрессию с первым членом, равным 1, и знаменателем (1 + г). В итоге имеем

((I + г)" - О
S= Р 1 + /^------- -¹ ----- -

¹ См.: Томас Д. Воротилы финансового мира. М.: Прогресс, 1976.

Начисление процентов в смежных календарных периодах. Вы­ше при начислении процентов не принималось во внимание расположение срока начисления процентов относительно ка­лендарных периодов. Вместе с тем, часто даты начала и окон­чания ссуды находятся в двух периодах. Ясно, что начисленные за весь срок проценты не могут быть отнесены только к послед­нему периоду. В бухгалтерском учете, при налогообложении, наконец, в анализе финансовой деятельности предприятия воз­никает задача распределения начисленных процентов по пери­одам.

Алгоритм деления общей массы процентов легко сформули­ровать на основе графика, построенного для двух смежных ка­лендарных периодов (см. рис. 3.2). Общий срок ссуды делится на два периода п_{ и п_т Соответственно,

/=/, + /₂,

где /, = />[(1 + 0*| - 1)]; /₂ = Р(\ + /ц[(1 + Оъ - 1] =

= />[(1 + /)«- (1 + /)/!,].

ПРИМЕР 3.2. Ссуда была выдана на два года — с 1 мая 1998 г. по 1 мая 2000 г. Размер ссуды 10 млн руб. Необходимо распре­делить начисленные проценты (ставка 14% ACT/ACT) по кален­дарным годам. Получим следующие суммы процентов (в тыс.

руб.): 2±

за период с 1 мая до конца года (244 дня): 10 000(1,14³⁶⁵ - 1) =

= 915,4; Л±

за 1999 г.: 10 000 х 1.14³⁶⁵ х 0,14 = 1528,2;

₁ 244

наконец, с 1 января до 1 мая 2000 г. (121 день): 10 000 х 1,14 ³⁶⁵ х

121

х (1,14³⁶⁵ - 1) = 552,4. Итого за весь срок — 2996 тыс. руб. Та­кой же результат получим для всего срока в целом:

10 000х(1,14²-1) = 2996.

Переменные ставки. Формула (3.1) предполагает постоянную ставку на протяжении всего срока начисления процентов. Не­устойчивость кредитно-денежного рынка заставляет модерни­зировать "классическую" схему, например, с помощью приме­нения плавающих ставок (floating rate). Естественно, что расчет

на перспективу по таким ставкам весьма условен. Иное дело — расчет постфактум. В этом случае, а также тогда, когда измене­ния размеров ставок фиксируются в контракте, общий множи­тель наращения определяется как произведение частных, т.е.

5-/>(1 ₊ /₁)^Я'(и/₂)^Я2...(1₊/,)^Л4, (3.5)

где /,, /₂,..., i_k — последовательные значения ставок; n_v я₂>—> п_к — периоды, в течение которых "работают" соответствующие ставки.

ПРИМЕР 3.3. Срок ссуды — 5 лет, договорная базовая процент­ная ставка — 12% годовых плюс маржа 0,5% в первые два года и 0,75% в оставшиеся годы. Множитель наращения в этом случае составит

q = (1 + 0,125)2(1 + 0.1275)³ = 1,81407.

Начисление процентов при дробном числе лет. Часто срок в го­дах для начисления процентов не является целым числом. В правилах ряда коммерческих банков для некоторых операций проценты начисляются только за целое число лет или других периодов начисления. Дробная часть периода отбрасывается. В большинстве же случаев учитывается полный срок. При ₄этом применяют два метода. Согласно первому, назовем его общим, расчет ведется непосредственно по формуле (3.1). Второй, сме­шанный, метод предполагает начисление процентов за целое число лет по формуле сложных процентов и за дробную часть срока по формуле простых процентов:

£=/>(1 +/)<(1 + */), (3.6)

где л = а + Ъ — срок ссуды, а — целое число лет, b — дробная часть года.

Аналогичный метод применяется и в случаях, когда перио­дом начисления является полугодие, квартал или месяц.

При выборе метода расчета следует иметь в виду, что мно­житель наращения по смешанному методу оказывается не­сколько больше, чем по общему, так как для п < 1 справедли­во соотношение 1 + л/ > (1 + /)^Л. Наибольшая разница наблю­дается при Ъ = 1/2.

ПРИМЕР 3.4. Кредит в размере 3 млн руб. выдан на 2 года и 160

160 дней (п = 3 -г^ = 3,43836 года) под 16,5% сложных годовых. 365

Сумму долга на конец срока определим по формуле (3.1): S = 3 000 000 х 1.165³'⁴³⁸³⁶ = 5071935,98 руб., в свою очередь, смешанный метод дает S = 3 000 000 х 1,165³ х (1 + 0,43836 х 0,165) = 5086595,98 руб.