Завдання Д-7. Малі вільні коливання механічної системи

Умова завдання. Механізм, що розташований у вертикальній площині (рис. Д7.0 – Д7.9), складається із ступінчастих коліс 1 і 2 з радіусами , що обертаються навколо нерухомих осей; однорідного стержня 3 довжиною , закріпленого шарніром; вантажів 4 та 5, підвішених до ниток, намотаних на колеса. Маса коліс 1 і 2 розподілена на зовнішніх радіусах. Відстань .

Стержень 3 з’єднаний з колесом 1 невагомим стержнем 6. Колеса 1 і 2 знаходяться в зачепленні або з’єднані невагомим стержнем 7. До коліс та стержня 3 прикріплені пружини.

В табл.Д7 задані маси тіл та коефіцієнти жорсткості пружин. Прочерки в стовпцях означають, що відповідні тіла або пружини в систему не входять (на рисунку не зображати). Остаточно в кожному варіанті залишається простий механізм, що містить три або два тіла. Стержень 6 або 7 входять в склад механізму, коли до нього входять обидва тіла, що з’єднуються цим стержнем.

В положеннях, показаних на рисунках, механізм знаходиться в положенні стійкої рівноваги.

Визначити:

1. Частоту та період малих коливань системи біля положення рівноваги.

2. Статичну деформацію пружини в положенні рівноваги.

Табл.Д7

Теоретичне обґрунтування: [5] § 147, 148; [6] Разд.ІІІ. Гл.7. § 1-3;

[7] § 128; [8], [9], [13].

Методичні вказівки. Завдання Д-7 на тему “Малі лінійні коливання механічної системи поблизу положення рівноваги”. На систему діють тільки потенціальні сили, тому коливання будуть вільними. Для розв’язку задачі треба використати рівняння Лагранжа II роду:

, (Д7.1)

де або - узагальнена потенціальна сила;

( - кількість ступенів вільності системи);

( - кількість потенціальних сил, що діють на систему);

- кінетична енергія системи;

- і -та узагальнена координата;

- і -та узагальнена швидкість;

- узагальнена потенціальна сила, що відповідає і–ій узагальненій координаті (при розв’язуванні конкретних задач зручно позначати через ).

- сума можливих робіт потенціальних сил, що відбуваються на можливому переміщені системи за умовою, що >0;

- можливе зростання узагальненої координати ( >0);

- потенціальна енергія системи.

Кількість рівнянь Лагранжа II роду, що складається для розв’язування задачі, повинна дорівнювати кількості ступенів вільності, тобто кількості незалежних можливих переміщень, що має система.

У наведеному завданні система має один ступінь вільності, тому потрібно скласти лише одне рівняння Лагранжа ІІ роду. Після обчислення лівої і правої частини цього рівняння воно може бути записано у вигляді диференціального рівняння малих вільних коливань:

, (Д7.2)

де кругова частота малих вільних коливань.

Період коливань визначається за формулою:

(Д7.3)

Розглянемо два приклада розв’язування цього завдання.