Метризуемость

Определение 1. Топологическое пространство метризуемо, если существует такая метрика на множестве , что порожденная этой метрикой топология совпадает с исходной топологией пространства .

Определение 2. Две метрики и на множестве называются эквивалентными, если они порождают на нем одну и ту же топологию.

Пример 1. Показать, что метрики , и эквивалентны, то есть задают одну и ту же топологию.

То, что это метрики, было показано ранее. Пусть метрика порождает топологию , - топологию и - топологию . Достаточно показать два равенства. Покажем, что . Рассмотрим множество , открытое в и покажем, что открыто в . Возьмем некоторую точку и изобразим шар с центром в этой точке, который целиком лежит в . Шар в - квадрат, шар в - круг. А квадрат всегда можно заключить в круг. Тогда открыто и в . Аналогично доказывается, что . А тогда и .

Теорема 1. Метризуемое топологическое пространство хаусдорфово.

Пусть . Возьмем . Докажем, что .

Предположим, что , тогда существует , т.е. и . Тогда, . Получили противоречие. Следовательно, .

Пример 2. Топологическое пространство не является хаусдорфовым, а значит неметризуемо.