Задачи

1. Доказать, что линейное пространство всех непрерывных (как и интегрируемых) на функций бесконечномерно.
2. Определить скалярное произведение в пространстве .
3. Доказать ортонормируемость тригонометрической системы.
4. Показать, что , и являются метриками.
5. В пространствах найти расстояние между функциями .
6. Показать, что пространство не гильбертово.
7. Показать полноту пространства .
8. Показать неполноту пространства при .
9. Доказать, что метрика пространства сильнее метрики пространства .
10. Доказать, что чебышевская норма, по крайней мере, не слабее гёльдеровской, а дифференциальная не слабее чебышёвской.
11. Верно ли, что последовательность , если в и ?
12. Верно ли, что последовательность , если в пространстве ?
13. Показать полноту дискретного метрического пространства.
14. Показать, что пространство , полное.
15. Показать полноту пространства .
16. Дана последовательность

.

К какой последовательности она сходится покоординатно? Сходится ли она к тому же пределу в метриках пространств ?