Вращение тела вокруг неподвижной точки

Название такого вида движения довольно точно его определяет. Часто это движение называют сферическим движением потому, что все точки тела движутся по сферическим поверхностям.

Наглядным примером такого движения является волчок, закономерности движения которого лежат в основе гироскопических приборов.

1) Углы Эйлера. Уравнения вращения тела с одной неподвижной точкой.

Положение тела опре­деляется следующим образом. На­значаются две системы декартовых осей. Первая система – неподвижные оси x,y,z. На­чало которых берётся в неподвижной точке O тела (рис. 16). Вторая сис­тема, оси x₁, y₁, z₁, связывается с телом. Поэтому положение тела будет опреде­ляться как положение этих осей относи­тельно неподвиж­ных.

Рис.16

Линия пересечения неподвижной плоскости xOy и подвижной x₁Oy₁, прямая OK, называ­ется линией узлов. Угол Ψ называется углом прецессии, угол θ – углом нутации, угол φ – углом собственного вращения. Эти названия углов пришли из теории гироскопов.

При движении тела углы Эйлера изменя­ются по определённым законам Ψ=Ψ(t); θ=θ(t); φ=φ(t) которые называются уравнениями вра­щения.

На примере вращающегося волчка можно лучше разобраться в этих углах Эйлера (рис.17). Ось волчка z₁ описывает конус вокруг неподвижной оси z. Это вращение определяется углом Ψ (говорят: волчок совершает прецессию). Отклонение оси волчка от вертикали – угол нутации θ.

А вращение волчка вокруг своей оси z₁, определяемое углом φ – собственное вращение.

Рис.17

2) Теорема Даламбера – Эйлера. Мгновенная ось вращения.

Проведём в теле сферическую поверх­ность произвольного радиуса с центром в неподвижной точке O (рис.18).

Рис.18

По­кажем у тела какие-нибудь две точки A и B, расположенные на этой сфере. Со­единим их по сфере дугой наибольшего радиуса (кратчайшее расстояние между точками). Переместим тело в новое по­ло­жение. Точки, а значит и дуга, займут по­ложение A₁ и B₁. Соединим точки A и A₁, B и B₁ дугами большого радиуса AA₁ и BB₁. Посередине этих дуг прове­дём им перпендикулярные дуги и най­дём их точку пересечения P₁. Соединим эту точку P₁ с точками A, B, A₁, B₁. Получим два сфе­рических треугольника ∆ABP₁ и ∆A₁B₁P₁, расположенных на этой сфере. Эти два треугольника равны, как треугольники с равными сторонами (AB=A₁B₁, а AP₁=A₁P₁ и BP₁=B₁P₁ – как дуги равноудалённые от пер­пендикуляров). Так как эти два треугольника расположены на одной сфере и имеют общую вершину P₁, то их можно совместить поворотом сферы, а значит и тела, вокруг прямой OP₁.

Поэтому можно сделать вывод, что тело с одной неподвижной точкой можно переместить из одного положения в другое поворотом вокруг некоторой оси, проходящей через не­подвижную точку O. Это утверждение – есть теорема Даламбера-Эйлера.

3) Скорость точек тела.

По теореме Даламбера-Эйлера за малое время ∆t движение тела можно представить как вращение вокруг неподвижной оси OP₁ с некоторой угловой скоростью (рис.19).

Рис.19

Тогда скорость точки M: В пределе, при ∆t→0, угловая скорость будет приближаться к мгновенной угловой скорости , направленной по мгновенной оси вращения P, а скорость точки - к истинному значению:

Но таким же образом находится скорость точки при вращении тела вокруг оси, по которой направлен вектор , в нашем случае – по мгновенной оси вращения P. Поэтому скорость точки можно определить как скорость её при вращении тела вокруг мгновенной оси P. Величина скорости v=h∙ω (рис.19).

Пример 2. Водило OA=a, вращаясь вокруг вертикальной оси z с угловой скоростью ω₀, застав­ляет диск радиуса R кататься по горизон­тальной плоскости (рис.20).

Рис.20

Так как скорость точки касания диска с плоскостью равна нулю, то мгновенная ось вращения P проходит через эту точку. И вектор мгновенной угловой скорости будет направлен по этой оси.

Точка A вместе с водилом OA вращается вокруг оси z. Поэтому её ско­рость v_A=aω₀ (рис.20). Эта скорость определяет направление вращения диска вокруг оси P и направление вектора . Величина угловой ско­рости (h – рас­стояние от A до оси P). Теперь можно найти скорость любой точки диска, рассматривая его движение как вращение вокруг оси P. Так, например, скорость точки B: v_B=2h∙ω. Так как h=R∙cosα и , , то и v_B=2aω₀.

4) Ускорение точек тела.

Сначала определим угловое ускорение тела . При движении тела вектор угловой скорости изменяется и по величине, и по направлению. Точка, распо­ложен­ная на его конце будет двигаться по некоторой траектории со скоростью (рис.21).

Рис.21

Если рас­сматривать вектор как ра­диус-вектор этой точки, то .

Итак. Угловое ускорение тела можно опреде­лить как скорость точки, расположенной на конце вектора угловой скорости:

.

Этот результат называется теоремой Резаля.

Теперь обратимся к определению ускорения точек. Ускорение какой-либо точки M тела

есть сумма двух векторов.

Первый вектор . Модуль его a₁=εr∙sinα₁=ε∙h₁, где h ₁ – расстояние от точки M до вектора . Направлен он перпендику­лярно и . Но таким же способом определяет­ся касательное ускорение. Поэтому первую состав­ляющую ускорения определяют как ка­сательное ускорение, предпола­гая, что тело вращается вокруг оси, совпадающей с векто­ром . И обо­значается этот вектор ускорения так

.

Второй вектор Модуль его a₂=ωv∙cosα₂, но α₂=90°, т.к. векторы и перпендикулярны друг другу.

Рис.22

Значит a₂=ωv=ωh₂ω=h₂ω², где h₂ – расстояние от точки М до мгновенной оси P, до вектора .

Направлен вектор перпендикулярно и , т.е. так же как вектор нормального ускорения при вращении вокруг оси P, или вектора . Поэтому этот вектор ускорения и обозначают, соответственно, так:

Итак, ускорение точек тела, вращающегося вокруг неподвижной точки, определяется как сумма двух ускорений:

Этот результат называется теоремой Ривальса.

Заметим, что в общем случае векторы и не совпадают и угол между и не равен 90°, векторы не перпендикулярны друг другу, как это было при вращении тела вокруг неподвижной оси.

Пример 3. Продолжим исследование движения диска (пример 2). Модуль угловой скорости Значит вектор вместе с осью P, которая всегда проходит через точку касания диска с плоскостью, вращается вокруг оси z и описывает конус. Точка М на конце вектора движется по окружности радиуса r=ω∙cosα с угловой скоро­стью ω₀. Поэтому угловое ускорение диска

Откладывается вектор из неподвижной точкиО. Направлен он, как скорость , перпендикулярно водилу OA, параллельно оси х (рис. 23).

Рис.23

Найдём ускорение точки В.

Ускорение . Направлен вектор перпендикулярно OB и расположен в плоскости zO₁y.

Ускорение Вектор направлен по BC, перпендикулярно мгновенной оси P. Модуль вектора найдём с помощью проекций на оси x, y, z:

Значит

Пример 4. Колесо, вращаясь равноускоренно, достигло угловой скорости 20 рад/с через 10 оборотов после начала вращения. Найти угловое ускорение колеса.

Дано: ω=20 рад/с, N=10 об.

Найти: ε-?

Решение. При равномерном вращательном движении имеют место следующие два уравнения: φ=φ_о+ω_оt+εt²/2 и ω= ω_о+εt. По условию ω_о=0, тогда эти уравнения примут вид: φ=εt²/2 и ω = εt. Решая их и учитывая, что φ=2πN, получим окончательно ε=ω²/4πN=3,2 рад/с.

Пример 5. Колесо радиусом 10 см вращается с постоянным угловым ускорением 3,14 рад/с² (рис.24). Найти для точек на ободе колеса к концу первой секунды после начала движения: 1) угловую скорость, 2) линейную скорость, 3) тангенциальное ускорение, 4) нормальное ускорение, 5) полное ускорение и 6) угол, составляемый направлением полного ускорения с радиусом колеса.

Дано: R= 0,1 м, ε=3,14 рад/с²

Найти: ω-? v -? a_τ -? a -?

Рис.24

Решение. 1) При равнопеременном вращательном движении угловая скорость ω = ω_о+εt. По условию ω_о=0, тогда ω = εt, т.е. ω растет пропорционально времени. К концу первой секунды ω=3,14 рад/с.

2) Так как v=ωR, то линейная скорость также пропорционально времени. К концу первой секунды v = 3,14 м/с.

3) Тангенциальное ускорение a _τ = 𝜀R не зависит от времени t. В нашем случае a _τ = 0,314 м/с².

4) Нормальное ускорение a _n=ω²R=ε²t²R, т.е. нормальное ускорение растет пропорционально квадрату времени: при t=1 c a _n=0,986м/с².

5) Полное ускорение растет со временем по закону: При t=1 c a =1,03 м/с².

6) Имеем , где α - угол, составляемый направлением полного ускорения с радиусом колеса. В начальный момент времени, т.е. при t=0, a =a _τ - полное ускорение направлено по касательной. При t=∞ a = a _n (так как a _τ=const и a _n пропорционально времени), т.е. при t=∞ полное ускорение направлено по нормали. К концу первой секунды sinα= a _τ/ a _n=0,314/1,03=0,305, т.е. α=17^о46’.

Пример 6. Колесо вращается равноускоренно с угловым ускорением ε= 3 рад/с². Определить, какой угловой скорости достигнет тело после t=3 с своего вращения? Сколько оборотов N оно при этом совершит?

Решение. Если тело вращается равноускоренно, то его движение описывает следующая система уравнений

В начальный момент тело покоилось, значит, ω₀=0. Тогда

Следовательно, ω=εt=3∙3=9 рад/с.

Количество оборотов

Пример 7. Вентилятор вращался с частотой n₀=900 об/мин. После выключения вентилятор, вращаясь равнозамедленно, сделал до остановки N=75 об. Какое время t прошло с момента выключения до остановки вентилятора? С каким угловым ускорением ε он двигался?

Решение. Равнозамедленное движение вентилятора описывается следующей системой уравнений

Поскольку вентилятор остановился, то его конечная частота n=0. Тогда выразим из второго уравнения и, подставив его в первое уравнение, а также учитывая, что n₀=900 об/мин = 15 об/с, получим

Время движения равно

Пример 8. Точка вращается по окружности радиусом R=20 см с постоянным тангенциальным ускорением a_τ=5 см/с². Через какое время после начала вращения нормальное ускорение точки будет вдвое больше тангенциального?

Решение. Угловая скорость точки при равноускоренном движении может быть найдена из соотношения ω=ω₀+εt. Так как ω₀=0, то ω=εt. Нормальное ускорение a_n=ω²R=(εt)²R. Тангенциальное ускорение a_τ=εR. По условию задачи a_n=2a_τ, тогда (εt)²R=2εR, следовательно, εt²=2 и

Пример 9. Точка движется по окружности радиусом R=2 см. Зависимость пути от времени дается уравнением s(t)=Ct³, где С = 0,1 см/с³. Найти нормальное и тангенциальное ускорения точки в тот момент, когда линейная скорость точки v= 0,3 м/с.

Решение. Зависимость пути от времени позволяет найти зависимости от времени скорости и тангенциального ускорения.

Отсюда,

Тогда тангенциальное ускорение a_τ=6∙Ct=6∙0,1∙10^-2∙10=0,06 м/с².

Нормальное ускорение

Пример 10. Точка движется по окружности радиусом R = 4 м. Начальная скорость точки равна 3 м/с, тангенциальное ускорение a_τ = 1 м/с². Для момента времени t = 2 с определить: а) длину пути, пройденного точкой, б) модуль перемещения; в) линейную и угловую скорости; г) нормальное, полное и угловое ускорения.

Рис.25

Решение. Уравнение зависимости пути, пройденного точкой, от времени имеет вид (м). Это позволяет найти длину пути м. Если учесть, что за один оборот точка проходит путь, равный длине окружности s₁=2πR=8π м, то можно найти угловое перемещение точки из пропорции , φ=2 (рад) = 114,7⁰. Тогда модуль перемещения может быть найден по теореме косинусов как хорда, стягивающая этот угол φ.

Линейная скорость точки v=v₀+a_τt=3+1∙2=5 м/с.

Угловая скорость ω=vR=5∙4=20 рад/с.

Нормальное ускорение

Полное ускорение Модуль полного ускорения

Угловое ускорение

Пример 11. Автомобиль, движущийся со скоростью 36 км/ч, проходит закругленное шоссе с радиусом кривизны 200 м. На повороте шофер тормозит машину, сообщая ей ускорение 0,3 м/с². Найти нормальное и полное ускорения автомобиля на повороте. Найти угол между вектором полного ускорения автомобиля на повороте и вектором его скорости. Каковы угловые скорость и ускорение автомобиля в момент вхождения машины в поворот?

Рис.26

Решение. Зная скорость автомобиля v =36 км/ч =10 м/с, найдем его нормальное ускорение

Полное ускорение автомобиля

Угловое ускорение

Угловая скорость

Поскольку движение автомобиля замедленное, то векторы скорости и тангенциального ускорения направлены в противоположные стороны, поэтому вектор скорости и вектор полного ускорения образуют тупой угол φ. Для нахождения этого угла определим вначале угол α, дополняющий искомый угол до 180⁰.

Пример 12. Найти радиус R вращающегося колеса, если известно, что линейная скорость v₁ точки, лежащей на ободе, в 2,5 раза больше линейной скорости v₂, точки, лежащей на расстоянии r =5 cм ближе к оси колеса.

Дано: v₂=2,5v₁, r=R-5

Рис.27

Date: 2015-09-03; view: 871; Нарушение авторских прав