Определение значений постоянных интегрирования

В связи с тем, что в конкретном рассматриваемом примере на заданную однопролётную балку действует равномерно распределённая внешняя нагрузка интенсивностью q(x)= q₀ = const, дифференциальное уравнение (4) изгиба призматической балки будет иметь вид:

записывается в виде:

EJW^IV (x) = q ₀, (10)

а выражение (5) для общего интеграла дифференциального уравнения (10) будет иметь вид:

(11)

Для подчинения общего интеграла (11) дифференциального уравнения (10) граничным условиям (6), (7), (8). (9) необходимо предварительно получить выражения для первой и второй производных от общего интеграла (11), которые будут иметь соответственно вид:

(12)

(13)

Если подчинить выражение общего интеграла (11) граничному условию (6), то в результате получим, что

W(0) = D,

откуда следует, что величина D будет равна:

D = 0 (14)

Если воспользоваться граничным условием (7), то подставляя в выражение (13) значение х = 0, в результате получим, что

W^II(0)=В,

откуда следует, что величина В будет равна:

В = 0 (15)

Подчиняя выражение общего интеграла (11) граничному условию (8), получим, что

(16)

Воспользовавшись выражениями (12) и (13), из граничного условия (9) получим следующую зависимость:

(17)

или

,

откуда после преобразований и приведения подобных членов, получается выражение вида

(18)

Выражения (17) и (18) в окончательном виде преобразуются к следующим уравнениям относительно двух неизвестных величин А и С, которые в окончательном виде образуют систему двух алгебраических уравнений:

(19)

Для решения системы уравнений (19) можно воспользоваться методом миноров, тогда для системы двух уравнений, представляемых в общем виде

(20)

значения неизвестных величин А и С будут определяться следующими формулами:

; (21)

, (22)

где:

Δ₀ – определитель системы уравнений (20), составляемый из коэффициентов при неизвестных величинах А и С:

Δ_{А -} определитель системы уравнений (20), составляемый из коэффициентов правой части С₁ и С₂ и коэффициентов при неизвестной величине С:

Δ_С - определитель системы уравнений (20), составляемый из коэффициентов при неизвестной величине А и из коэффициентов правой части С₁ и С₂:

Учитывая вышеприведенные формулы, получим следующие выражения:

,

которые после несложных преобразований примут вид:

Тогда, учитывая выражения (21) и (22), значения величин А и С будут определяться формулами:

(23)

(24)

в которых введены обозначения:

(25)

(26)

5. Общий интеграл дифференциального уравнения изгиба рассматриваемой однопролётной балки

Общий интеграл (11) дифференциального уравнения (10), являющийся выражением, описывающим характер изменения прогиба W(x) по длине рассматриваемой однопролётной статически неопределимой балки, после подстановки значений величин А и С, запишется:

которое может быть приведено к виду, более удобному для выполнения расчётов, так как вместо «размерной» переменной величины «x» вводится «безразмерная» переменная величина, равная отношению «х/L»

(27)

В качестве проверки полученного решения нетрудно убедиться, что при x = L из формулы (27) следует

,

что соответствует граничному условию (8).