Основные зависимости технической теории изгиба призматических балок

В основе технической теории изгиба балок лежит принимаемая гипотеза плоских сечений, на основании которой устанавливается следующая связь между изгибающим моментом M(x), действующим на балку и радиусом кривизны «R» балки в любой точке (x):

EJ / R = M(x) (1)

Если воспользоваться известной из курса аналитической геометрии линейной приближённой дифференциальной зависимостью, устанавливающей значение кривизны:

1/ R = W^II(x), (2)

справедливое при малых значениях деформаций балки, когда имеет место неравенство:

W^I(x) «1.0,

то уравнение (1) преобразуется в следующее дифференциальное уравнение второго порядка относительно прогиба балки W(x):

EJ W^II (х) = M(x). (3)

Для получения полного дифференциального уравнения, описывающего деформирование статически неопределимой балки с самыми разными граничными условиями и при действии различных внешних нагрузок необходимо воспользоваться зависимостями Журавского:

,

,

подстановка которых в уравнение (3) приводит к дифференциальному уравнению изгиба призматической балки следующего вида:

EJW^IV (x) = q (x) (4)

В этом уравнении, которое может быть отнесено к уравнению равновесия, левая часть представляет собой интенсивность внутренних усилий, вызванных сопротивлением балки упругому деформированию – изгибу. Эти внутренние усилия уравновешиваются действующими на балку внешними усилиями q(x), стоящими в правой части уравнения (4).

После четырёхкратного интегрирования дифференциального уравнения изгиба балки (4) общий интеграл этого уравнения представляется выражением:

, (5)

в котором величины А, В, С, D являются постоянными интегрирования, определяемые исходя из граничных условий по концам рассматриваемой балки. При этом каждая из величин А, В, С, D имеет определённый физический смысл, а именно:

D = W(0) - значение прогиба балки в начале координат,

С = W^I(0) - значение угла поворота поперечного сечения балки в начале координат,

В - M(0) / EJ, где M(0) - значение изгибающего момента, действующего на балку в начале координат,

А = N (0)) / EJ, где N (0) - значение перерезывающей силы, действующей на балку в начале координат.

В соответствии с вышеуказанными величины А и В являются силовыми параметрами, а величины С и D являются кинематическими параметрами.