Главная Случайная страница


Полезное:

Как сделать разговор полезным и приятным Как сделать объемную звезду своими руками Как сделать то, что делать не хочется? Как сделать погремушку Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами Как сделать идею коммерческой Как сделать хорошую растяжку ног? Как сделать наш разум здоровым? Как сделать, чтобы люди обманывали меньше Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили? Как сделать лучше себе и другим людям Как сделать свидание интересным?


Категории:

АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника






Локальный экстремум





Определение экстремума перенесем из функций одного переменного.

Теорема. Если z=f(x;y) непрерывна в окрестности точки Мо. Дифференцируема там и имеет в точке Мо экстремум, то имеют место равенства . Доказательство. Пусть для определенности Мо – точка максимума. Тогда в любой окрестности этой точки справедливо f(x;y)< f(хоо). Это значит. Что дифференцируемая по х функция f(х;уо) удовлетворяет необходимым условиям существования экстремума, т.е. f’xоо)=0. Аналогичные рассуждения приведут ко второму равенству.

Комментарий. Следует помнить, что условия теоремы не являются достаточными. Так функция z=x2-y2 удовлетворяет необходимым условиям наличия экстремума в точке (0;0), но там экстремума нет (см. раздел 6 т.к. эта поверхность – гиперболический параболоид), а есть минимакс.

Теорема (достаточные условия существования экстремума). Пусть в -окрестности точки Мо функция z=f(x;y) имеет непрерывные до второго порядка включительно частные производные и выполняются необходимые условия наличия экстремума. Тогда при =(f’’)2- f’’xx f’’уу)<0 в точке Мо имеется экстремум; если >0, то экстремума нет; если =0, то требуются дополнительные исследования.

Док. Запишем формулу Тейлора для функции в окрестности Мо с точностью до R2. f(M)=f(хоо)+ f’xоо)(х- хо)+f’уоо)(у- уо)+

+0,5(f’’xxоо)(х- хо)2+2 f’’xyоо)(х- хо)(x- yо)+ f’’yyоо)(y-yо)2)+ R2. первые два слагаемые выпадают по необходимому условию. И тогда знак разности f(M)-f(хоо) определяется знаком трехчлена

f’’xxоо)(х-хо)2+2f’’xyоо)(х-хо)(x-yо)+ f’’yyоо)(y-yо)2 Т.е. знаком величины

(х-хо)2 (f’’xxоо)+2 f’’xyоо)t+ f’’yyоо)t2). Т.к. нам требуется гарантировать постоянство знака у разности f(M)-f(хоо), то это будет, если дискриминант трехчлена меньше нуля. Получаем требование для наличия экстремума

=(f’’)2- f’’xx f’’уу)<0, что и требовалось. Если же знак положителен, то невозможно гарантировать постоянство знака разности f(M)-f(хоо), а это говорит об отсутствии экстремума. Если же =0. То исследование следует продолжить, т.к. все опирается теперь на слагаемые более высокого порядка в формуле Тейлора.

Следствие. Если наличие экстремума обеспечено, то условие f’’уу<0 (или эквивалентное ему f’’xx<0) указывает тип экстремума – максимум. Если же f’’уу>0 (или эквивалентное ему f’’xx>0), то тип экстремума – минимум.

Как видим поиск локального экстремума весьма трудоемкая работа. Самое трудное – решение системы необходимых условий. Поэтому для поиска экстремумов используют приближенные численные методы (покоординатный, градиентный, случайный и др. методы спуска).

Date: 2015-09-02; view: 311; Нарушение авторских прав; Помощь в написании работы --> СЮДА...



mydocx.ru - 2015-2024 year. (0.006 sec.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав - Пожаловаться на публикацию