Общая схема исследования и построение графиков

Обобщаем все ранее приведенные исследования функции и получаем алгоритм исследования функции и построения ее графика.

1-й шаг. Найди область определения функции.

2-й шаг. Найди производную f’(x) функции.

3-й шаг. Найди точки, в которых f’(x) равна нулю, и точки, в которых f’(x) не существует.

4-й шаг. Найди 2-ю производную функции.

5-й шаг. Реши уравнение f’’(x)=0 (найди нули 2-й производной). Найди точки, где f’’(x) не существует

6-й шаг. Точками, найденными в п.п.3 и 5. разбей область определения на промежутки.

7-й шаг. В каждом промежутке возьми точку и установи(узнай, выясни) знак производной в выбранной точке. Сделай вывод и возрастании-убывании функции; наличии экстремума и вычисли значения экстремума.

8-й шаг. На каждом промежутке возьми точку и установи (узнай, выясни) знак 2-й производной в этой точке. Сделай вывод о выпуклости-вогнутости графика функции в этом промежутке, наличии точек перегиба и вычисли значения функции в точках перегиба.

Примечание. Пункты 6,7,8 лучше выполнять в сводной (результативной) таблице. 1-я строка таблицы – промежутки и точки из п.п.3 и 5. 2-я строка – знаки f’(x) по промежуткам и на границах промежутков. 3-я строка – знаки f’’(x) по промежуткам и на границах промежутков. Последняя строка отводится для символов, которые характеризуют поведение функции и ее графика: - возрастает; - убывает; - выпукла и убывает;

- выпукла и возрастает; - вогнута и возрастает; - вогнута и убывает. Все это облегчит в дальнейшем построение графика.

9-й шаг. Исследуй точки разрыва на наличие вертикальных асимптот.

10-й шаг. Найди возможные наклонные асимптоты при графика при х или при х - .

11-й шаг. Выбери масштаб руководствуясь значениями экстремумов, перегибов и их координат. Изобрази асимптоты, экстремумы, перегибы.

12-й шаг. Плавной линией соедини все участки кривой, двигаясь слева направо.

Примечание. Некоторые из пунктов могут меняться местами (например, п.п.9 и 10 могут выполняться сразу за п.1.).

Пример 4.5. Исследовать функцию y=3xe^x и построить ее график.

Область определения (; ). Точек разрыва нет и потому нет вертикальных асимптот. Для других асимптот найдем k= = - при х асимптот нет. Найдем k= = =0. Далее найдем b== -kх= =0 по правилу Лопиталя (экспонента растет быстрее любой степени). Получаем горизонтальную асимптоту y=0. При этом х отрицателен и потму график приближается к оси Ох снизу.

Находи y’=3e^x (x+1). Существует во всех точках. Находим нули – х₁=-1.

Находим y’’=3e^x (x+2). Существует во всех точках. Находим нули – х₂=-2.

Cтроим сводную таблицу

Х ; -2 -2 -2; -1 -1 -1

Y’ - - - 0 +

Y’’ - 0 + + +

Y -6е^-2 -3е^-1

=0,6 -1,2

По результатам исследования получаем график на Рис 4.5.

у=3хe^x

экстремум у_min=-1,2

перегиб у_перег=-0,6

-2 -2 х

+ + О

Рис 4.5. График кривой у=3хe^x.