Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Производные неявных функцийРанее было введено понятие неявной функции одного аргумента в неявном виде, т.е. уравнением F(x;y)=0. Однако там же указывалось, что не всякое уравнение F(x;y)=0 определяет функцию y=f(x). Теорема (достаточные условия существования неявной функции). Пусть: 1. F(x;y) определена и непрерывна как функция двух переменных вместе со своими частными производными в некоторой окрестности точки Мо(хо;уо); 2. В точке Мо(хо;уо) имеет место равенство F(хо;уо)=0, 3. В точке Мо F’x(хо;уо) не равна нулю; тогда: a. В некотором прямоугольнике D уравнение F(x;y)=0 определяет однозначную y=f(x); b. При х= хо функция y=f(x) принимает значение уо; c. На промежутке функция y=f(x) непрерывна и имеет производную, которую вычисляют по формуле y`= . Доказательство опускаем. Получим только формулу для вычисления производной. Пусть в D имеет место F(x;y)=0 и потому dF=0. Но dF= F’x(х;y)dх+F’у(х;y)d у. И потому имеем y`= . Комментарий. Следует заметить, что фактической функции y=f(x) можно и не получить вообще, т.к. не всякое уравнение F(x;y)=0 можно решить относительно у. И все же производную вычислить можно! Обобщим полученное на неявную функцию трех переменных. Получим для задания функции в виде F(x;y;z)=0 формулы для частных производных: = и = , что легко получить либо по аналогии, либо из очевидного равенства dF=0 или F’x(х;y;z)dх+F’у(х;y;z)d у +F’z(х;y;z)dz=0 откуда dz= dx+()dy, но dz= dx+ dy и потому верны записанные выше формулы для вычисления частных производных. Используем производную неявной функции для получения характеристик градинта поля. Пусть дана z=f(x;y). И пусть дана некоторая линия уровня z=C. Пусть Мо лежит на линии уровня. Тогда можно найти угловой коэффициент касательной к линии уровня в точке Мо, используя производную неявно заданной функции k= y`= . Однако нам известен по (5.3) grad f(x;y)= f’x(х;y) + f’у(х;y) . Легко видеть, что градиент перпендикулярен касательной,т.к. вектор касательной имеет координаты (-f’у(х;y); f’x(х;y)). Скалярное их произведение равно нулю. Т.о. градиент – это вектор, нормальный к линии (поверхности) уровня, проведенной через данную точку. Он указывает направление наибольшего увеличения поля.
|