Производная сложной функции нескольких переменных

Пусть задана сложная функция с двумя промежуточными и одним основным аргументом z=f(x;y), x=x(t), y=y(t). Требуется вычислить производную z’_t. отметим. Что это полная производная, т.к. фактически это функция одного переменного. Пусть переменная t получила приращение t. Тогда соответствующие приращения получат и функции х и у, зависяшие от t, а вместе с ними и функция z получит полное приращение z= f’_x(х;y) х+ f’_у(х;y) у. Разделим полученное приращение на t и вычислим предел этого отношения при tà0. Тогда получим f’_t = f’_x x’_t+ f’_у y’_t -формула для вычисления производной сложной функции данного типа.

Если же задана сложная функция с двумя промежуточными и двумя основными аргументами z=f(x;y), x=x(t,s), y=y(t,s), тогда можно использовать уже разработанный алгоритм вычисления частных производных и получить формулы f’_t = f’_x x’_t+ f’_у y’_t ; f’_s = f’_x x’_s+ f’_у y’_s или в других символах

= + и = + . В последних записях отметим справедливость предупреждения о том, что частные производные – это не дроби, а единые символы. В противном случае полсе сокращения справа было бы получено две частные призводные, равные одной производной слева!

Если от функции нескольких переменных взяты частные производные, то они сами будут функциями от тех же аргументов. Естественно попытаться поставить вопрос о производных от частных производных.

Определение. Частная производная от частной производной порядка n-1 от данной функции называется частной производной порядка n от данной функции.