Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
Решение дифференциальных уравнений
|
|
Если дано линейное дифференциальное уравнение порядка n с постоян-ными коэффициентами
y ( n ) + a 1 y ( n – 1) +... + a 0 y = 
(t) (15)
где (t) является оригиналом (t) =: Ф (p) и заданы начальные условия вида y (0) = y 0, y` (0) = y 1, y`` (0) = y 2,..., y ( n – 1)(0) = yn – 1 (задача Коши), то решение уравнения y (t) так же полагаем оригиналом и y (t) =: F (p). Перейдем в (15) по формулам (7), (8), (9) к изображению производных и получим линейное уравнение относительно F (p) (изображающее дифференциальное уравнение). Решим это уравнение и по изображению определим оригинал y (t) =: F (p), который и является решением задачи Коши.
В случае ЛДУ второго порядка y`` + a y` + by = (t)(16)
имеем y (0) = y 0, y` (0) = y` 0, y (t) =: F (p), (t) =: Ф (p). По формулам (6), (7) имеем y `(t) =: p F (p) - y 0, y ``(t) =: p 2 F (p) – p y 0 – y` 0 и приходим к изобра- жающему уравнению
p 2 F (p) – p y 0 – y` 0 + a [ p F (p) - y 0 ] + b F (p) = Ф (p)
F (p) [ p 2 + ap + b ] = Ф (p) + y` 0 + (p + a) y 0
Решение для изображения: F (p)= 
(17)
Пр.19 Решить ЛДУ y``+ 6 y`+ 9 y = 9 e 3 t при условии y (0) = y `(0) = 0.
Решение 1. Пусть y (t) =: F (p), тогда y `(t) =: p F (p), y ``(t) =: p 2 F (p), 9e3t = 
(№3) и приходим к изображающему уравнению
p 2 F (p) + 6p F (p) + 9 F (p) = или F (p)(p 2 + 6 p + 9) = . Решение представим в виде суммы простейших дробей
F (p) = 
= 
+ 
+ 
и просуммируем их.
Числитель A (p + 3)2 + B (p 2 – 32) + C (p – 3) = 9 приводит к системе 3 уравнений
p 2 | A + B = 0 A = ¼ Переход от изображения к оригиналу
p 1 | 6 A + C = 0 
B = - ¼ по формулам № 3, 8 дает
p 0 | 9 A – 9 B – 3 C = 9 C = - 3/2
y (t) = ¼ e 3 t - ¼ e - 3 t - 3/2 t e -3 t
Решение 2. Пусть y (t) =: F (p) и 9e3t =: Ф (p). Решение изображающего уравнения F (p)(p 2 + 6 p + 9) = Ф (p) представим в виде произведения двух изображений F (p) = 
Ф (p), которые соответствуют функциям t e -3 t и 9 e 3 t. Оригинал решения есть свертка этих функций: y (t) = 
= = 9 
= 9 e 3 t 
= 
= = 9 e 3 t { 
} = ¼ e 3 t - ¼ e - 3 t - 3/2 t e -3 t
Задачи для самостоятельного решения
Пр. 20 y``- 2 y` - y = e 3 t при условии y (0) = 0, y` (0) = 0
Ответ: F (p) = 
, y (t) = 1/16 e - t - 1/16 e 3 t - ¼ t e 3 t
Пр. 21 y``+ y` - 2 y = et при условии y (0) = 0, y` (0) = 1
Ответ: F (p) = 1/ (p 2 – 1), y (t) = sh t
Date: 2015-09-02; view: 360; Нарушение авторских прав