Отыскание оригинала по изображению

Если изображение является дробно-рациональной функцией F (p) = и m < n,то многочлен знаменателя представим в виде произ-ведения линейных множителей = . Корни многочлена p_i могут быть действительными числами, комплексными числами и кратными. Комплексные корни входят сопряженными парами и приводят к трехчленам типа (p ² + p + ). В результате F (p) представ-ляется в виде суммы элементарных дробей типа , (метод неопределенных коэффициентов). Комбинируя эти дроби, можно пытаться построить изображения основных элементарных функций и затем по таблице восстановить оригинал.

Пр. 10 Найти оригинал функции F (p) = .

= = + ½ =: e^t cos 2 t + ½ e^t sin 2 t

Пр. 11 Найти оригинал функции F (p) = .

= = + = =

p² | A + B = 0

p¹ | 2A – 2B + C = 0 A = 1/12, B = -1/12, C = - 1/3

p⁰ | 4A – 2C = 1

= - = -

Из формул № 3, 6, 7 оригинал f (t) = e ^{2 t} - e^-t (cos t + sin t ).

Если в F (p) только простые нули: = , то разложение изображения упрощается

F (p) = , где (6)

Пр.12 Найти оригинал функции F (p) =

Вычисляем производную от знаменателя = [ p (p – 1)(p – 2)(p – 3) ]` =

= (p – 1)(p – 2)(p – 3) + p (p – 2)(p – 3) + p (p – 1)(p – 3) + p (p – 1)(p – 2),

находим её значения в нулевых точках v ₄`(0) = - 6, v <sub>4</sub>`(1) = 2, v ₄`(2) = - 2, v <sub>4</sub>`(3) = 6, определяем коэффициенты A ₀ = - 1/6, A ₁ = 1, A ₂ = - 3/2, A ₃ = 2/3

и по формуле (6) расписываем разложение изображения на простые дроби

F (p) = =: + - + .

Если F (p) разлагается в сходящийся ряд

F (p) = + + +... + +...,

то его оригинал находится по формуле

f (t) = + + +... + +...

Этот ряд сходится при всех значениях t.

Пр.13 Найти оригинал функции F (p) = .

Используем формулу для суммы бесконечной геометрической прогрессии

= = - + -... Этот ряд сходится при | p | > 1

По формуле № 2 получаем оригинал f (t) = - + - +...