Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
Производная по направлению
|
|
Пусть в пространственной области 
задана функция трех переменных 
. Выберем в этой области две точки: 
и 
(знаки приращений 
и 
могут быть произвольными) и проведем вектор 
(см. рис.).
Этот вектор является диагональю параллелепипеда со сторонами 
. Очевидно, его длина равна
.
Будем считать, что функция 
дифференцируема и запишем полное приращение 
при переходе от точки 
к точке 
в виде
, (3.10.1)
где 
и 
стремятся к нулю, если 
. Разделим все члены в (3.10.1) на 
:
.
. (3.10.2)
Очевидно, 
– направляющие косинусы вектора 
.
Пусть теперь . Величину 
называют производной функции 
в точке 
по направлению вектора . Таким образом,
. (3.10.3)
Из этой формулы следует, что производная функции по любому направлению может быть вычислена, если известны все ее частные производные. Сами же частные производные являются производными по некоторым направлениям. Например, если выбрать в качестве заданного направления положительное направление оси 
,
то 
, тогда 
и
Аналогично производные 
и 
являются производными вдоль положительных направлений координатных осей 
и 
.
Пример.
а) Найти производную функции 
в точке 
в направлении, составляющем с осью угол 
º;
б) Найти производную функции 
в точке 
в направлении вектора 
;
в) Найти производную функции 
в точке 
в направлении, составляющим одинаковые острые углы с направлениями координатных осей.
Решение.
а) Прежде, чем привести решение этой задачи, заметим, что формула (3.10.3) пригодна и для функций двух переменных. Для этого достаточно положить 
, т.е. исключить в этой формуле третье слагаемое.
Итак, в нашем случае 
º, 
º, т.е. 
.
.
Тогда 
б) Сначала найдем направляющие косинусы вектора .
.
Теперь вычислим частные производные:
.
В точке эти производные равны
. Итак,
.
в) Воспользуемся тем, что
и 
.
Отсюда, т.к. углы 
– острые, то 
.
.
Окончательно получаем 
.
Date: 2015-09-02; view: 1713; Нарушение авторских прав