Примеры. 1.Рассмотрим функцию y=|x|.Эта функция непрерывна в точке x = 0, т.к

1.Рассмотрим функцию y=|x|. Эта функция непрерывна в точке x = 0, т.к. .

Покажем, что она не имеет производной в этой точке.

f (0+Δ x) = f (Δ x) = |Δ x |. Следовательно, Δ y = f (Δ x) – f (0) = |Δ x |

Но тогда при Δ x < 0 (т.е. при Δ x стремящемся к 0 слева)

А при Δ x > 0

Т.о., отношение при Δ x → 0 справа и слева имеет различные пределы, а это значит, что отношение предела не имеет, т.е. производная функции y=|x | в точке x = 0 не существует. Геометрически это значит, что в точке x = 0 данная "кривая" не имеет определенной касательной (в этой точке их две).

2.Функция определена и непрерывна на всей числовой прямой. Выясним, имеет ли эта функция производную при x = 0.

Следовательно, рассматриваемая функция не дифференцируема в точке x = 0. Касательная к кривой в этой точке образует с осью абсцисс угол p/2, т.е. совпадает с осью Oy.

3.

4.Функция определена для всех значений x, кроме x = 0. В этой точке она имеет разрыв, т.к. предел не существует (рисунок см. в лекции 1).

Точки разрыва функции можно разбить на два типа.

Точка разрыва x₀ функции f(x) называется точкой разрыва первого рода, если существуют оба односторонних конечных предела и , но они не равны между собой или не равны значению функции в точке x₀, т.е. f(x₀). Точка разрыва, не являющаяся точкой разрыва первого рода, называется точкой разрыва второго рода.

Примеры: В первом примере точка х= 3 является точкой разрыва первого рода. В примерах 2 – 4 все точки разрыва являются точками разрыва второго рода.

5.Для функции, изображённой на рисунке точка x = 2 является точкой разрыва первого рода.

6.Функция не определена в точке x = 0. Эта точка является точкой разрыва 1-го рода, т.к. в ней существуют пределы справа и слева.

1. y = xⁿ. Если n – целое положительное число, то, используя формулу бинома Ньютона:

(a + b)ⁿ = a ⁿ+ n·a ^n-1· b + 1/2∙ n(n – 1)a ^n-2∙ b ²+ 1/(2∙3)∙ n(n – 1)(n – 2)a^n-3b³+…+ bⁿ,

можно доказать, что

Итак, если x получает приращение Δ x, то f(x +Δ x) = (x + Δ x)ⁿ, и, следовательно,

Δ y =(x +Δ x) ⁿ – xⁿ = n·x^n-1 ·Δ x + 1/2·n·(n– 1 )·x^n-2 ·Δ x² +…+Δ xⁿ.

Заметим, что в каждом из пропущенных слагаемых есть множитель Δ x в степени выше 3.

Найдем предел

Мы доказали эту формулу для n  N. Далее увидим, что она справедлива и при любом n  R.

2. y = sin x. Вновь воспользуемся определением производной.

Так как, f(x +Δ x)= sin(x +Δ x), то

Таким образом,

3. Аналогично можно показать, что

4. Рассмотрим функцию y = ln x.

Имеем f (x +Δ x)=ln(x +Δ x). Поэтому

Итак,

5. Используя свойства логарифма можно показать, что

Формулы 3 и 5 докажите самостоятельно.