Механический смысл производной

Из физики известно, что закон равномерного движения имеет вид s = v·t, где s – путь, пройденный к моменту времени t, v – скорость равномерного движения.

Однако, т.к. большинство движений происходящих в природе, неравномерно, то в общем случае скорость, а, следовательно, и расстояние s будет зависеть от времени t, т.е. будет функцией времени.

Итак, пусть материальная точка движется по прямой в одном направлении по закону s=s(t).

Отметим некоторый момент времени t ₀. К этому моменту точка прошла путь s=s(t ₀ ). Определим скорость v материальной точки в момент времени t ₀.

Для этого рассмотрим какой-нибудь другой момент времени t ₀ + Δ t. Ему соответствует пройденный путь s =s(t ₀ + Δ t). Тогда за промежуток времени Δ t точка прошла путь Δs =s(t ₀ + Δ t) – s(t).

Рассмотрим отношение . Оно называется средней скоростью в промежутке времени Δ t. Средняя скорость не может точно охарактеризовать быстроту перемещения точки в момент t ₀ (т.к. движение неравномерно). Для того, чтобы точнее выразить эту истинную скорость с помощью средней скорости, нужно взять меньший промежуток времени Δ t.

Итак, скоростью движения в данный момент времени t ₀ (мгновенной скоростью) называется предел средней скорости в промежутке от t ₀ до t ₀+Δ t, когда Δ t →0:

,

т.е. скорость неравномерного движения это производная от пройденного пути по времени.