Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Условный экстремумРассмотрим функцию , определенную и дифференцируемую в области , координаты точек которой удовлетворяют системе уравнений связи . В этой области нужно найти такую точку , чтобы выполнялось условие . Такие задачи называются задачами отыскания условного экстремума функции . Для отыскания условного экстремума исследуется на обычный экстремум функция Лагранжа . Необходимые условия экстремума функции Лагранжа имеют вид: Из этой системы уравнений с неизвестными находят значения неизвестных . Числа называются коэффициентами Лагранжа. Пример №21 Найти экстремумы функции при условии . Решение: Составляем функцию Лагранжа: . Находим частные производные и составляем необходимые условия экстремума функции Лагранжа: В данном случае . Для исследования на экстремум в полученных критических точках вычисляем значения и составляем определитель: . Если , то имеет в точке условный максимум, если – условный минимум. Итак, , следовательно, в точке условный минимум, , следовательно, в точке условный максимум, . Задания:
а) ; b) ; c) . 2. Найти условные экстремумы функций: а) b) при ; c) при Типовые примеры. Задание 1. Найти область определения функции z= и её частные производные. Решение. Областью определения функции z= является множество точек плоскости, за исключением точек, удовлетворяющих равенству 6-х+у=0; т.е. точек, лежащих на прямой у=х-6. Найдём частные производные функции z. При нахождении z’x функция z дифференцируется по х, в предположении, что у=const. z’x= При нахождении z’y функция z дифференцируется по у, в предположении, что х=const z’y= Задание 2. Дана функция z=х у+х . Показать, что х Решение. Найдём частные производные функции z. Подставим найденные производные в заданное выражение. Х x(у+е +у(х+е ху+хе 2ху+хе 2ху+хе Задание 3. Найти частные производные и частные дифференциалы функции z=ctg Решение. Найдём частные производные: ; Найдём частные дифференциалы. dz = dz
Задание 4. Вычислить значения частных производных f' f’ , f’ в точке М (1; для функции f' = =- f’ ; f’ ; f' (М ; f' (М ; f' (М Задание 5. Найти полный дифференциал функции z=ln(х cos 2y) Решение. Полный дифференциал функции определяется формулой dz= Найдём частные производные функции Полный дифференциал dz= Задание 6. Вычислить значение производной сложной функции z= , где х=е ; у=2-е , при t =0. Решение. Производная сложной функции z=z(х;у), где х=х(t); у=у(t) может быть вычислена по формуле Найдём все производные: Тогда Найдём значение производной в точке t
Задание7. Вычислить значения частных производных неявной функции е в точке М (; Решение. Если функция z задана неявно, т.е. в виде уравнения F(x;у;z)=0, то частные производные этой функции могут быть заданы по формулам: ; Нам задана неявная функция е F F F Следовательно Найдём производные в точке М (; Задание 8.
S: z= в точке М Решение. Если уравнение поверхности задано в явной форме z=f(x,у), то уравнение касательной плоскости в точке М имеет вид z- . Уравнение нормали Найдём частные производные данной функции и их значения в точке М f (f f (f Отсюда, применяя формулы, будем иметь z-1=2(x-2)+2(y+1) или 2х+2у-z-1=0 – уравнение касательной плоскости и - уравнение нормали.
в точке М Решение. Если уравнение поверхности задано в неявной форме F (x,y,z)=0, то уравнение касательной плоскости и нормали будут иметь вид
Найдём частные производные функции F (x,y,z) и их значения в точке М
Следовательно уравнение касательной плоскости: -12(х-0)+0(у-2)-12(z+2)=0 или х+z+2=0 Уравнение нормали или Задание 9. Найти градиент функции Z= в точке М Решение. Градиентом функции z=f(x,y) называется вектор, проекциями которого на координатные оси являются соответствующие частные производные данной функции. = Найдём частные производные функции z и их значения в точке М
= 1 Следовательно, gradz=2 Задание 10. Исследовать на экстремум функцию z= Решение. Найдём частные производные: Используя необходимое условие экстремума: Составим систему уравнений Решив эту систему найдём четыре стационарные точки.
Стационарные точки М (-2;-1); М (2;1); М (-1;-2); М (1;2) Найдём производные второго порядка =6у; И составим дискриминант ∆=А для каждой стационарной точки 1) Для точки М : А= ; В= ; С= ∆=А . В точке М функция имеет максимум, равный z =-8-6+30+12=28 2) Для точки М : А=12; В=6; С=12; ∆=144-36>0; А>0. В точке М функция имеет минимум, равный z =8+6-30-12=-28 3) Для точки М : А=-6; В=-12; С=-6; ∆=36-144<0. Экстремума нет 4) Для точки М : А=6; В=12; С=6; ∆=36-144<0. Экстремума нет
|