Производная и дифференциал функции одной переменной

Определение 4.8. Производной функции в точке называется предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю: .

Функция , имеющая производную в каждой точке некоторого промежутка, называется дифференцируемой в этом промежутке.

Для производной функции употребляются следующие обозначения: , , или , , . Нахождение производной называется дифференцированием.

Пример №7 Дана функция , найти её производную :

a) В произвольной точке

b) при

Решение:

a) При значении аргумента, равном , имеем . При значении аргумента, равном , имеем: .

Находим приращение функции: . Составляем отношение . Переходя к пределу, найдём производную от данной функции: .

Итак, производная от функции в произвольной точке равна .

b) При получим: .