Производная по направлению. Градиент. Определение 5.1. Частной производной от функции по независимой переменной называется конечный предел

Определение 5.1. Частной производной от функции по независимой переменной называется конечный предел , вычисленный при постоянном значении .

Для вычисления частных производных можно воспользоваться обычными правилами и формулами дифференцирования.

Пример №16 Найти , если

Решение:

При вычислении переменная рассматривается как постоянная величина: .

Рассмотрим теперь переменную как постоянную величину: .

Задания:

1. Найти частные производные от функций:

a) ;

b) ;

c) ;

d) ;

e) .

1. Показать, что данные функции удовлетворяют приведенным уравнениям:

а) ; + .

b) .

Определение 5.2. Пусть определена в некоторой окрестности точки , пусть – единичный вектор, задающий направление прямой , проходящей через точку . Выберем на прямой точку . Рассмотрим приращение функции в точке Предел отношения , если он существует, называется производной функции в точке по направлению и обозначается .

Если функция имеет в точке непрерывные частные производные, то в этой точке существует и производная по любому направлению, исходящему из точки ; вычисляется эта производная по формуле , где и - направляющие косинусы вектора .

Пример №17

Вычислить производную функции в точке по направлению вектора .

Решение:

Находим единичный вектор , совпадающий с направлением вектора (т.е. найдем орт вектора : = , т.е. , . Находим частные производные и вычисляем их значение в точке : =5. Тогда

Определение 5.3. Градиентом функции в точке называется вектор с началом в точке , координаты которого равны соответствующим частным производным , вычисленным в точке . Градиент обозначается .

Аналогично определяется производная по направлению и градиент для функции трех переменных в точке

;

, где , - направляющие косинусы вектора

Пример №18 Найти градиент функции в точке .

Решение: Находим частные производные данной функции:

Вычисляем значения этих производных в точке :

.

Окончательно получаем .

Задания:

1. Найти производные приведенных функций по направлению вектора в заданной точке:

a) , в точке ;

b) , в точке ;

c) , в точке .

2. Найти градиент следующих функций:

а) в точке ;

b) в точке ;

c) в точке ;

d) в точке .