Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
Производная по направлению. Градиент. Определение 5.1. Частной производной от функции по независимой переменной называется конечный предел
|
|
Определение 5.1. Частной производной от функции 
по независимой переменной 
называется конечный предел 
, вычисленный при постоянном значении 
.
Для вычисления частных производных можно воспользоваться обычными правилами и формулами дифференцирования.
Пример №16 Найти 
, если 
Решение:
При вычислении 
переменная рассматривается как постоянная величина: 
.
Рассмотрим теперь переменную как постоянную величину: 
.
Задания:
- Найти частные производные от функций:
a) 
;
b) 
;
c) 
;
d) 
;
e) 
.
- Показать, что данные функции удовлетворяют приведенным уравнениям:
а) 
; 
+ 
.
b) 
.
Определение 5.2. Пусть определена в некоторой окрестности точки 
, пусть 
– единичный вектор, задающий направление прямой 
, проходящей через точку . Выберем на прямой точку 
. Рассмотрим приращение функции 
в точке 
Предел отношения 
, если он существует, называется производной функции в точке по направлению и обозначается 
.
Если функция имеет в точке непрерывные частные производные, то в этой точке существует и производная по любому направлению, исходящему из точки ; вычисляется эта производная по формуле 
, где 
и 
- направляющие косинусы вектора 
.
Пример №17
Вычислить производную функции 
в точке 
по направлению вектора 
.
Решение:
Находим единичный вектор , совпадающий с направлением вектора 
(т.е. найдем орт вектора : 
= 
, т.е. 
, 
. Находим частные производные 
и вычисляем их значение в точке : 
=5. Тогда 
Определение 5.3. Градиентом функции в точке называется вектор с началом в точке 
, координаты которого равны соответствующим частным производным 
, вычисленным в точке . Градиент обозначается 
.
Аналогично определяется производная по направлению и градиент для функции трех переменных 
в точке 
;
, где , 
- направляющие косинусы вектора
Пример №18 Найти градиент функции 
в точке 
.
Решение: Находим частные производные данной функции: 
Вычисляем значения этих производных в точке :
.
Окончательно получаем 
.
Задания:
1. Найти производные приведенных функций по направлению вектора в заданной точке:
a) 
, 
в точке 
;
b) 
, 
в точке 
;
c) 
, 
в точке 
.
2. Найти градиент следующих функций:
а) 
в точке 
;
b) 
в точке ;
c) 
в точке 
;
d) 
в точке 
.
Date: 2015-09-02; view: 585; Нарушение авторских прав