Производные неявной функции

Если есть неявная функция от , т.е. задана уравнением , не разрешенным относительно , то для нахождения производной нужно продифференцировать по обе части равенства, помня, что есть функция от , и затем разрешить полученное равенство относительно искомой производной. Как правило, она будет зависеть от и ; .

Пример №12: Для данных неявных функций найти производные указанного порядка:

a) , ;

b) , ;

c) , .

Решение:

a) Дифференцируем по обе части равенства, где есть функция от , получим:

b) Дифференцируя по , получим: . Подставляя заданное значение в исходное уравнение, найдём два соответствующих ему значения : , . Поэтому при и производная имеет два значения: ; .

c) Прологарифмируем обе части данного уравнения (по основанию ), затем дифференцируем по , рассматривая как функцию : ; ;
. Отсюда найдём .

Задания:

1) , ;

2) , ;

3) , .