Интегрирование оригиналов и изображений

При интегрировании оригиналов и изображений справедливы следующие теоремы.

Теорема 7 (об интегрировании оригинала). Если
то верна формула

(30.28)

Теорема 8 (об интегрировании изображения). Если и интеграл сходится (путь интегрирования лежит в полуплоскости Re , где – показатель роста функции из формулы (30.1)), то справедлива формула

(30.29)

Теорема 9. Пусть – оригинал, – его изображение. Тогда справедлива формула

(30.30)

где

если оба интеграла сходятся.

С л е д с т в и е. Если , то верна формула

(30.31)

Пример 1. Найти оригинал , если известно, что его изображение имеет вид

Решение. Запишем изображение в виде

Известно, что (формула (30.12)). Поэтому, согласно формуле (30.28), получаем

Приходим к ответу

Пример 2. Найти изображение оригинала

Решение. Используя свойство линейности и формулу (30.17) соот­ветственно для имеем

Делению оригинала на аргумент, согласно теореме 8, соответствует интегрирование изображения:

Теперь используем теорему 7 об интегрировании оригинала, которая и приводит к ответу,

Пример 3. Вычислить интеграл:

1) 2)

Решение. 1) Используем формулу (30.12):

Согласно равенству (30.30), получаем

2) Используем формулу

(см. пример 2, параграф 30.1, с. 7 данного пособия).

Тогда равенство (30.31) для нашего случая приобретает вид

Применяя метод математической индукции, можно убедиться, что n -я производная функции может быть найдена по формуле

Поэтому получаем