Дифференцирование оригиналов и изображений

Для дифференцирования оригиналов и изображений справедливы следующие теоремы.

Теорема 3 (о производной оригинала). Если и − оригиналы и то верна формула

(30.19)

где

Далее будем обозначать

С л е д с т в и е. Если …, − оригиналы и то справедлива формула

(30.20)

где понимается аналогично

В частном случае, когда

соотношение формулы (30.20) приобретает вид

(30.21)

Теорема 4 (о производной изображения). Если то верна формула

(30.23)

Теорема 5. Пусть − непрерывный оригинал, − оригинал с непрерывной производной и Тогда справедлива формула Дюамеля

(30.24)

Теорема 6. Если функция и ее производная являются оригиналами и то

(30.25)

где внутри угла ( − произвольный малый угол, ) и

Если же то

(30.26)

где внутри угла

Пример 1. Пусть − оригинал, Найти изображение для функции если − оригиналы, причем

Решение. Согласно формуле (30.20), имеем

Свойство линейности, формула (30.4), приводит к соотношению

Получаем

Пример 2. Найти изображение оригинала

1) 2)

Решение. Используем формулы (30.22), (30.23), записав их в виде

1) Согласно формуле (30.16), имеем

2) Применяя формулы (30.5) и (30.14), находим

Тогда

Значит,

Пример 3. Найти изображение функции

Решение. Обозначим искомое изображение через

Согласно формуле дифференцирования изображения (30.22), имеем Используя свойство линейности, формула (30.4), и соотношение

(см. пример 2, параграф 30.1, с. 7 данного пособия), на­ходим

Продифференцируем оригинал в соответствии с формулой (30.19):

причем, согласно правилу Лопиталя, имеем

Поэтому получаем

Так как то имеем соотношение

которое означает

так как

Из последнего равенства найдем Очевидно, что

Выполнив интегрирование

найдем

(30.27)

(рассматриваем только главное значение логарифма

При равенство (30.27) дает

Поскольку то получаем

Известно, что

Число называют константой Эйлера.

Решение. Запишем в виде, который соответствует левой части равенства (30.24):

Известно, что (формулы (30.12), (30.13))

Тогда, согласно формуле Дюамеля (30.24), имеем

Вычислив последний интеграл

приходим к ответу