Свойства оригинала и изображения

Оригиналы и изображения имеют следующие свойства.

1. Линейность изображения. Если − оригиналы , то справедливо

(30.4)

для любых констант

2. Свойство подобия. Если то для любого числа справедливо

(30.5)

3. Смещение в области оригинала. Если то для любого верны формулы

4. Смещение в области изображения. Если то для любого верна формула

Сверткой двух функций интегрируемых на бесконечном промежутке , называется функция определяемая равенством

(30.9)

Если рассматриваются оригиналы f ₁ (t) и f ₂ (t), то для поэтому формула (30.9) для свертки оригиналов приобретает вид

(30.10)

Теорема 2. Свертка двух оригиналов является оригиналом.

5. Изображение свертки. Если то верна формула

(30.11)

Пример 1. Найти изображение функции-оригинала f (t):

1) 2) 3) 4)

Решение. Для нахождения изображения оригинала используем свойство линейности, формула (30.4), и найденное в примере 2, параграф 30.1, с. 7 данного пособия, изображение для

1) Согласно формуле которую можно вывести, исходя из формул Эйлера получаем

откуда (30.12)

2) Согласно формуле полученной аналогично, приходим к следующему изображению

откуда (30.13)

3) Используя определение функции sh t и свойство линейности изображения, получаем

т. е. (30.14)

4) На основании определения функции сh t и свойства линейности изображения получаем

откуда (30.15)

Пример 2. Найти изображение оригинала f (t):

1) 2)

3)

Решение. 1) Используя найденное ранее изображение cos t, формула (30.13), и свойство подобия (30.5), получаем

(30.16)

2) Применяя формулу (30.12) и свойство смещения в области оригинала, формула (30.6), получаем

3) Аналогично тому, как найдено изображение для , найдем изображение для формула (30.12):

(30.17)

Применяя формулу (30.6), получаем

Пример 3. Найти изображение оригинала

1) 2)

Решение. 1) Зная, что формула (30.16), и применяя свойство смещения в области изображения, формула (30.8), получаем

2) Зная, что (см. пример 2, параграф 30.1, с. 7 данного пособия), аналогично предыдущему решению находим

Пример 4. Найти изображение оригинала

Решение. Функция является ступенчатой (рис. 30.1).

Рис. 30.1

Используя единичную функцию (функцию Хевисайда) (см. пример 2, параграфа 30.1, с. 7 данного пособия), функцию можно записать в виде

Как было показано в примере 2, параграф 30.1, с. 7 данного пособия, Тогда согласно свойству линейности изображения, формула (30.4), и в соответствии с формулой (30.6) получаем

По формуле суммы элементов бесконечно убывающей геометрической прогрессии приходим к ответу

Пример 5. Найти оригинал если известно, что соответству­ющее изображение есть:

1) 2)

3)

Решение. 1) Преобразуем выражение для следующим образом:

Используя формулы (30.8) и (30.17), получаем

Откуда

2 ) 1-й способ. Как и в предыдущем примере, находим

Применяя формулы (30.8) и (30.14), получаем

Таким образом,

2-й способ. Преобразуем следующим образом:

Так как (см. пример 2, параграф 30.1, с. 7 данного пособия), то

Согласно формуле (30.11), получаем

3) Запишем изображение в виде произведения:

Используя формулы (30.12) и (30.13), имеем

Тогда согласно свойству умножения изображений, формула (30.11), получаем

Таким образом, приходим к соотношению

(30.18)