Операционное исчисление

Основные понятия операционного исчисления

Функция f (t) действительной переменной называется оригиналом (функцией-оригиналом), если она удовлетворяет следующим условиям:

1) f (t) является кусочно-непрерывной, интегрируемой на любом конечном интервале оси

2) существуют константы такие, что (30.1)

3)

Константу называют показателем роста функции f (t).

Простейшим примером функции-оригинала является единичная функция (функция Хевисайда):

Если некоторая функция f (t) удовлетворяет первым двум условиям функции-оригинала, а третьему условию она не удовлетворяет, то операция умножения ее на функцию Н (t) приводит к оригиналу Н (t) f (t):

Вместо Н (t) f (t) будем писать просто f (t) и всегда понимать, что f (t) = 0 при любом

Изображением функции f (t) называется функция F (р) комплексной переменной которая определяется равенством

(30.2)

Интеграл, входящий в равенство (30.2), называется преобразованием Лапласа, поэтому функцию F (р) называют еще изображением по Лапласу функции f (t).

Словесное выражение « является изображением для оригинала » записывают так:

выражение же « является оригиналом для » записывается так:

Теорема 1. Для любого оригинала соответствующее изображение является аналитической функцией в полуплоскости где , − показатель роста функции

Если точка стремится к бесконечности так, что неограниченно возрастает, то

(30.3)

Замечание. Не всякая функция может быть изображением некоторого оригинала.

Пример 1. Выяснить, является ли оригиналом функция

1) 2)

Решение. 1) В точке функция имеет разрыв второго рода, т. е. в этой точке она является бесконечно большой функцией. Но тогда условие (30.1) не выполняется, следовательно, функция не является оригиналом.

2) Для степенной функции с произвольным натуральным показателем n имеем

в чем можно убедиться, например, применив n раз правило Лопиталя. Поэтому, существует константа М такая, что

Это приводит к заключению, что является оригиналом.

Пример 2. Найти изображение данного оригинала:

1) 2) 3)

Решение. 1) Функция задана двумя значениями, одно из которых является нулевым при всех Согласно сказанному выше, эту функцию будем задавать в виде Используя формулу (30.2), получаем

где т. е. для единичной функции

2) Используя формулу (30.2), получаем

если т. е. то используя формулу (30.2), имеем

3) Используя формулу (30.2) и метод интегрирования по частям, получаем

где Таким образом