Раздел 3. Дифференциальное исчисление функции одной действительной переменной

3.1. Производная функции.

Задачи, приводящие к понятию производной. Общий подход к решению задач механики. Определение производной. Производные алгебраической суммы, произведения, частного функций. Производные сложных функций, обратных функций. Производные функций, заданных неявно и параметрически. Производные основных элементарных функций.

3.2. Дифференциал функции.

Понятие функции, дифференцируемой в точке. Дифференциал функции. Свойства первого дифференциала. Связь между непрерывностью и дифференцируемостью функции. Геометрический и механический смысл производной и дифференциала 1 – го порядка, их применение в решении прикладных задач.

3.3. Производные и дифференциалы высших порядков функций.

Производные высших порядков функций, заданных явно, неявно, параметрически. Механический смысл производной 2 – го порядка. Дифференциалы 2 – го и высших порядков. Неинвариантность формы дифференциалов высших порядков.

3.4. Основные теоремы дифференциального исчисления.

Основные теоремы дифференциального исчисления функции одной действительной переменной и их применение (теорема Ферма, точки экстремума функции; теоремы Ролля, Лагранжа, Коши, правило Лопиталя для раскрытия неопределенностей).

3.5. Исследование функций.

Применение дифференциального исчисления для исследования функций и построения их графиков. Условия монотонности функций. Экстремумы функций, необходимое условие. Достаточные условия. Отыскание наименьшего и наибольшего значений функции, дифференцируемой на отрезке. Исследование выпуклости функции. Точки перегиба. Асимптоты функции. Общая схема исследования функции и построения ее графика. Примеры.

3.6. Формула Тейлора.

Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано и в форме Лагранжа. Представление функций e^x, sin(x), cos(x), ln(1+x), (1+x)^a по формуле Тейлора. Приложения формулы Тейлора.