Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
Эллиптические кривые
|
|
Эллиптические кривые - это кривые видаy2=x3+ax+b.
В полях размера 2m ("полях характеристики 2"; к ним относится и привычное программистам поле из двух элементов) определения становятся чуть более сложными, а стандартные доказательства и рассуждения перестают работать.
Они занимают промежуточную нишу между коническими сечениями и кривыми более высоких порядков - про них известно не все, но многое. О том, что это серьезный объект для исследований, говорит хотя бы то, что именно теория эллиптических кривых привела Эндрю Уайлса к доказательству великой теоремы Ферма.
Хотя примеры нарисованы на плоскости, то есть на множестве пар вещественных чисел (x, y), в криптографии все структуры, разумеется, должны быть дискретными. Поэтому решения уравнения ищутся над конечными полями. Чтобы конечное множество могло стать полем, его размер должен иметь вид pm, где p - простое число. Конечное поле с простым количеством элементов (m=1) можно представлять как множество неотрицательных целых чисел, меньших p, в котором все алгебраические операции производятся "по модулю p" (то есть с переходом к остатку от деления результата на p). В криптографии используются конечные поля двух типов - с простым количеством элементов (m=1) и "поля характеристики два" (у которых 2m элементов); ограничимся первым случаем. Кстати, термин "эллиптическая кривая" над конечным полем в изрядной степени теряет смысл - какая же это кривая, если это конечное множество точек?
Суть применения эллиптических кривых в криптографии сводится к тому, что группа чисел по простому модулю (как было в криптосистеме Диффи-Хеллмана) заменяется группой решений уравнения y2=x3+ax+b. Осталось лишь указать, как складывать друг с другом решения такого уравнения.
40. Гипербола. Определение 11.5. Гиперболой называется множество точек плоскости, для которых модуль разности расстояний до двух фиксированных точек F 1 и F 2 этой плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная.
Выведем каноническое уравнение гиперболы по аналогии с выводом уравнения эллипса, пользуясь теми же обозначениями.
| r1 - r2| = 2 a,
откуда 
Если обозначить b ² = c ² - a ², отсюда можно получить
- каноническое уравнение гиперболы. (11.3)
Определение 11.6. Эксцентриситетом гиперболы называется величина е = с / а.
Определение 11.7. Директрисой Di гиперболы, отвечающей фокусу Fi, называется прямая, расположенная в одной полуплоскости с Fi относительно оси Оу перпендикулярно оси Ох на расстоянии а / е от начала координат.
Свойства гиперболы:
1) Гипербола имеет две оси симметрии (главные оси гиперболы) и центр симметрии (центр гиперболы). При этом одна из этих осей пересекается с гиперболой в двух точках, называемых вершинами гиперболы. Она называется действительной осью гиперболы (ось Ох для канонического выбора координатной системы). Другая ось не имеет общих точек с гиперболой и называется ее мнимой осью (в канонических координатах – ось Оу). По обе стороны от нее расположены правая и левая ветви гиперболы. Фокусы гиперболы располагаются на ее действительной оси.
2) Ветви гиперболы имеют две асимптоты, определяемые уравнениями
и 
.
3) Наряду с гиперболой (11.3) можно рассмотреть так называемую сопряженную гиперболу, определяемую каноническим уравнением
для которой меняются местами действительная и мнимая ось с сохранением тех же асимптот.
4) Эксцентриситет гиперболы e > 1.
5) Отношение расстояния ri от точки гиперболы до фокуса Fi к расстоянию di от этой точки до отвечающей фокусу директрисы равно эксцентриситету гиперболы.
Доказательство можно провести так же, как и для эллипса.
41. Парабола. Определение 11.8. Параболой называется множество точек плоскости, для которых расстояние до некоторой фиксированной точки F этой плоскости равно расстоянию до некоторой фиксированной прямой. Точка F называется фокусом параболы, а прямая – ее директрисой.
у Для вывода уравнения параболы выберем декартову
систему координат так, чтобы ее началом была середина
d M(x,y) перпендикуляра FD, опущенного из фокуса на директри-
r су, а координатные оси располагались параллельно и
перпендикулярно директрисе. Пусть длина отрезка FD
D O F x равна р. Тогда из равенства r = d следует, что
поскольку
Алгебраическими преобразованиями это уравнение можно привести к виду: y ² = 2 px, (11.4)
называемому каноническим уравнением параболы. Величина р называется параметром параболы
Свойства параболы:
1) Парабола имеет ось симметрии (ось параболы). Точка пересечения параболы с осью называется вершиной параболы. Если парабола задана каноническим уравнением, то ее осью является ось Ох, а вершиной – начало координат.
2) Вся парабола расположена в правой полуплоскости плоскости Оху. Замечание. Используя свойства директрис эллипса и гиперболы и определение параболы, можно доказать следующее утверждение:
Множество точек плоскости, для которых отношение е расстояния до некоторой фиксированной точки к расстоянию до некоторой прямой есть величина постоянная, представляет собой эллипс (при e <1), гиперболу (при e >1) или параболу (при е =1).
Date: 2015-08-24; view: 459; Нарушение авторских прав