Сингулярний спектральний аналіз

Сингулярний спектральний аналіз (ССА, англ. Singular Spectrum Analysis, SSA) – це математичний метод аналізу часових рядів, при якому поведінка ряду розглядається як результат складання шумової, трендової і кількох коливальних складових. ССА використовується для визначення ймовірної поведінки ряду в самому найближчому майбутньому. Сингулярний спектральний аналіз є окремим випадком багатовимірного сингулярного спектрального аналізу. Метод ССА застосовується в таких галузях науки, як метеорологія, біоінформатика, розпізнавання патернів і астрономія. Це корисний метод згладжування початкових даних, стиснення інформації і прогнозування часових рядів.

Метою розроблення сингулярного спектрального аналізу є забезпечення аналізу динаміки процесу, що генерує часові ряди. ССА грунтується на сингулярному розкладанні траєкторної матриці, що конструюється з часового ряду. Кожне значення ряду у фіксованій точці часу є станом системи. Ці стани системи, які рівновіддалені у часі, утворюють профіль зміни станів. Людина може бути проінформована про процес, але вона незнає характеристики даного процесу. В ССА цей невідомий процес подається як сума окремих компонентів – елементарні патерни поведінки (ЕПП). Кожен такий патерн дає трейду

або аналітику інформацію про тренд, шумові або осцилюючі компоненти.

Метою сингулярного спектрального аналізу є отримання цієї інформації з початкових часових рядів[5].

Початкова точка ССА – процедура вбудовування або формування траєкторної матриці. Саме ця процедура переводить часовий ряд в послідовність багатовимірних векторів, де L – будь-яке число, .В результаті отримаємо векторів вбудування , , які мають розмірність . Траєкторна матриця – це і складається з векторів вбудування в якості стовбців. Якщо говорити по другому, то траєкторна иатриця має такий вид

.

Вона також є ганкелевою, бо містить одинакові елементи на діагоналях . Далі йде сингулярне розкладання траєкторної матриці де 0 – впорядковані ненульові власні числа матриці – відповідні їм власні вектори, а – це факторні вектори.

На основі розкладання матриці процедура групування поділяє всю множину індексів на непересічних множин .

Нехай , тоді результуючу матрицю може бути визначено як . Матриці такого виду обчислюються для , отже розкладання можна записати у вигляді . Процедура вибору множин називається групуванням власних трійок.

Діагональне усереднення. Кожна матриця згрупованого розкладання переводиться в новий ряд довжини

. Нехай - деяка матриця з елементами , де . Покладемо і . Нехай , якщо , і інакше. Діагональне усереднення переводить матрицю у ряд за формулою

Вираз відповідає усередненню елементів матриці уздовж «діагоналей» : вибір дає , для отримали і т. д. Зауважимо, що якщо матриця є траєкторною матрицею деякого ряду , то . Застосовуючи діагональне усереднення (2.4) до результуючих матриць , ми отримуємо ряди , і отже, вихідний ряд розкладається у суму рядів: [6].

Коливальні компоненти визначають з аналізу власних векторів матриці . Можна сказати, що ССА своїми рисами нагадує аналіз Фур'є. Обидва методи представляють сигнали як суму косинусів і синусів різних амплітуд і частот. ССА має багато переваги в порівнянні з аналізом Фур’є. Проекція часових початкових рядів на обрані емпіричні ортогональні функції – це основні компоненти, які характеризуються емпіричними ортогональними функціями і набором сингулярних значень. Основні компоненти, що відповідають максимальному власному значенню , визначаються як лінійна комбінація елементів емпіричної ортогональної функції, що показує максимальну варіативність всіх інших лінійних комбінацій, і траєкторної матриці. Основні компоненти, що відповідають другому по значенню , представляють собою максимальну варіативність тих лінійних комбінацій, що корелюють з основними компонентами.

Ідея, що стоїть за використанням основних компонент, полягає у виведенні серії ЕОФ таким чином, щоб проекціями початкових серій

зберігалася максимальна фракція варіативності початкових даних.

На рис. 1.5 показані основні компоненти, які являються набором сингулярних значень і елементарних функцій [5].

Рисунок 1.5 – Основні компоненти, де видно проекцію початкових часових серій на ЕОФ1, ЕОФ2, ЕОФ3, ЕОФ5 і ЕОФ 6.