Решение. Условия выполняются, следовательно, функции являются гармонической парой

Проверим условия КРЭДа:

.

Условия выполняются, следовательно, функции являются гармонической парой.

Определение 33. (второе определение аналитической функции) Функция комплексного переменного u (x, y) + i v (x, y), образованная гармонической парой функций u (x, y) и v (x, y) в области D, называется аналитической в этой области.

Теорема 6. Пусть l – любой замкнутый кусочно-гладкий контур, лежащий в области D, где функции u (x, y) и v (x, y) образуют гармоническую пару, тогда справедливы равенства:

Теорема 7. Для любой гармонической в односвязной области D функции можно найти с точностью до постоянного слагаемого сопряженную с ней гармоническую функцию:

Замечание. Как известно из теорем теории поля, интеграл, рассматриваемый в теореме, не будет зависеть от вида кривой, и в качестве пути интегрирования можно выбрать ломаную, звенья которой параллельны осям координат:

Аналогично для

Пример 25. Проверить, является ли функция гармонической. Найти аналитическую функцию по заданной мнимой части .