Дифференцируемость ФКП. Аналитические функции

Пусть однозначная функция определена в некоторой окрестности точки z, включая саму точку. Придадим аргументу z приращение , причем , тогда функция получит приращение такое, что

Определение 24. Если существует конечный предел при , то он называется производной функции в точке z и обозначается или .

= .

Определение 25. Функция называется дифференцируемой в точке z, если ее приращение можно записать в виде:

(9)

где А и В не зависят от и , а при .

Теорема 2. Для того чтобы функция была дифференцируемой в точке z необходимо и достаточно, чтобы она имела в этой точке конечную производную .

Доказательство необходимости.

Пусть функция дифференцируема в точке z, тогда ее приращение по определению 25 можно записать в виде (9). Найдем производную функции, пользуясь определением 24:

=

= (по определению 25 величины А и В не зависят от и , а при ) = A + iB, что и требовалось доказать.

Определение 26. Если имеет производную в точке z, то она называется дифференцируемой в этой точке. Функция, дифференцируемая в каждой точке некоторой области D плоскости Гаусса, называется дифференцируемой в области D.

Теорема 3. Дифференцируемая функция в точке z (или в области D) непрерывна в этой точке (или области).