Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
Предел и непрерывность ФКП
|
|
Пусть однозначная функция 
задана в некоторой окрестности точки z 0, за исключением, быть может, самой точки z 0.
Определение 18. δ – окрестностью точки z 0 называется внутренность круга радиуса δ с центром в точке z 0 (рис. 14).
Определение 19. Число 
называется пределом функции при 
и обозначается 
, если для любого положительного ε найдется число δ = δ(ε) > 0 такое, что для всех 
, удовлетворяющих неравенству 
выполняется неравенство 
.
Определение 20. 
, если для любого R > 0 найдется δ(R) > 0 такое, что для всех таких что , выполняется неравенство 
Замечание. Существование предела для функции по некоторому фиксированному пути еще не гарантирует существование предела при .
Определение 21 (первое определение непрерывности функции в точке). Функция называется непрерывной в точке 
, принадлежащей ее области определения, если 
Отсюда можно записать, что для непрерывности функции в точке должно выполняться равенство нулю разности: 
.
С учетом того, что предел константы равен самой константе, данное равенство можно записать в виде: 
(*).
Пусть 
, отсюда 
. По условию , следовательно, 
. Рассмотрим приращение функции в точке :
. Подставив полученное равенство в (*), получим второе определение непрерывности функции в точке :
Определение 21 
(второе определение непрерывности функции в точке). Функция называется непрерывной в точке , принадлежащей ее области определения, если 
Определение 22. Функция называется непрерывной на некотором множестве, если она непрерывна в каждой точке этого множества.
Теорема 1 ( необходимое и достаточное условие непрерывности).
Для непрерывности ФКП необходима и достаточна непрерывность составляющих ее функций:
– непрерывна 
u = u (x, y); v = v (x, y) – непрерывны.
Замечание. Равенство 
эквивалентно двум равенствам: 
Следствие. Из теоремы следует непрерывность суммы, разности, произведения и частного (знаменатель не равен нулю) двух непрерывных функций.
Замечание. В теории функций комплексного переменного принято считать, что кроме обычных конечных точек комплексной плоскости (z) имеется еще одна несобственная, иначе, бесконечно удаленная точка 
, служащая пределом любой последовательности конечных точек z 1, z 2,..., для которой 
. Комплексная плоскость с добавленной к ней бесконечно удаленной точкой называется расширенной комплексной плоскостью.
Пример 7. Вычислить предел 
.
Date: 2015-08-15; view: 1081; Нарушение авторских прав