Предел и непрерывность ФКП

Пусть однозначная функция задана в некоторой окрестности точки z ₀, за исключением, быть может, самой точки z ₀.

Определение 18. δ – окрестностью точки z ₀ называется внутренность круга радиуса δ с центром в точке z ₀ (рис. 14).

Определение 19. Число называется пределом функции при и обозначается , если для любого положительного ε найдется число δ = δ(ε) > 0 такое, что для всех , удовлетворяющих неравенству выполняется неравенство .

Определение 20. , если для любого R > 0 найдется δ(R) > 0 такое, что для всех таких что , выполняется неравенство

Замечание. Существование предела для функции по некоторому фиксированному пути еще не гарантирует существование предела при .

Определение 21 (первое определение непрерывности функции в точке). Функция называется непрерывной в точке , принадлежащей ее области определения, если

Отсюда можно записать, что для непрерывности функции в точке должно выполняться равенство нулю разности: .

С учетом того, что предел константы равен самой константе, данное равенство можно записать в виде: (*).

Пусть , отсюда . По условию , следовательно, . Рассмотрим приращение функции в точке :

. Подставив полученное равенство в (*), получим второе определение непрерывности функции в точке :

Определение 21 (второе определение непрерывности функции в точке). Функция называется непрерывной в точке , принадлежащей ее области определения, если

Определение 22. Функция называется непрерывной на некотором множестве, если она непрерывна в каждой точке этого множества.

Теорема 1 ( необходимое и достаточное условие непрерывности).

Для непрерывности ФКП необходима и достаточна непрерывность составляющих ее функций:

– непрерывна u = u (x, y); v = v (x, y) – непрерывны.

Замечание. Равенство эквивалентно двум равенствам:

Следствие. Из теоремы следует непрерывность суммы, разности, произведения и частного (знаменатель не равен нулю) двух непрерывных функций.

Замечание. В теории функций комплексного переменного принято считать, что кроме обычных конечных точек комплексной плоскости (z) имеется еще одна несобственная, иначе, бесконечно удаленная точка , служащая пределом любой последовательности конечных точек z ₁, z ₂,..., для которой . Комплексная плоскость с добавленной к ней бесконечно удаленной точкой называется расширенной комплексной плоскостью.

Пример 7. Вычислить предел .