Задача ДС.3. Застосування теореми про зміну моменту імпульсу для визначення кутової швидкості механічної системи

Тіло масою кг (рис. 8 – 13) обертається навколо фіксованої осі , яка проходить через його центр перпендикулярно до його площини з початковою кутовою швидкістю рад/с. В точці в стані спокою знаходиться механізм масою кг. В момент часу = 0 починає діяти момент зовнішніх сил . Визначити кутову швидкість обертання тіла в момент часу .

Далі тіло обертається по інерції з досягнутим значенням кутової швидкості. В деякий новий момент часу самохідний механізм починає рухатись за законом вздовж траєкторії ( - сталі величини; відстань в метрах, час в секундах). Вважаючи механізм матеріальною точкою, знайти кутову швидкість диску як функцію часу та підрахувати її значення на момент часу = с.

Таблиця 3

Вихідні дані для задачі ДС.3

№	рис.
						- 720		-1	- 2
						- 240		1,5	0,5
					1,5	375
						720			- 1
						-400
						450
						135		- 3	- 2
						- 625
						- 510			- 2
						420
						135
						- 640
						- 300			- 1
						400			0,5
					4,5	- 375			- 0,5
						-625
						420
						- 270
						400		- 2	- 1
						- 360
						- 135
						800		- 2	3,5
						- 720
						- 400
						135
						875			- 0,5
						- 510			- 1
						240		- 2
						-420
						405

Приклад 1. Однорідний диск масою = 400 кг і радіуса = 5 м обертається навколо фіксованої осі, яка проходить через його центр перпендикулярно до його площини з початковою кутовою швидкістю = 4 рад/с (рис. 14). На відстані м від осі обертання в стані спокою знаходиться механізм масою =150 кг. В момент часу = 0 починає діяти момент зовнішніх сил . Визначити кутову швидкість обертання тіла в момент часу с.

Далі тіло обертається за інерцією з досягнутим значенням кутової швидкості. В деякий новий момент часу самохідний механізм перемістіться на відстань = 2 м від центру диску та повністю загальмується. Вважаючи механізм матеріальною точкою, знайти кутову швидкість диску на цей момент.

Розв’язок. Для розв’язку задачі скористаємося теоремою про зміну моменту імпульсу механічної системи

,

де - момент імпульсу системи відносно осі , який складається з диска та механізму; - головний момент зовнішніх сил, прикладений до системи, відносно осі .

Розглянемо схему руху механічної системи, сумістивши вісь системи відліку з віссю обертання диску та позначимо сили, які діють на систему - це сили тяжіння та , пара сил з моментом та реакцій підп’ятника та підшипника . Обидві сили тяжіння спрямовані паралельно осі обертання і, відповідно, їхні моменти відносно цієї осі дорівнюють нулю; не створюють моменту і сили реакції, бо проходять через вісь . Отже, головний момент зовнішніх сил дорівнює моменту .

Момент імпульсу системи є сумою кінетичних моментів її елементів. Момент імпульсу твердого тіла (диску), яке має певний момент інерції відносно осі та обертається навколо неї з кутовою швидкістю , визначається як

,

а момент імпульсу матеріальної точки, згідно з визначенням

,

де - радіус-вектор, який проведено від осі обертання до точки, а - абсолютна швидкість точки. Абсолютну швидкість точки, яка не рухається по диску, але обертається разом з диском навколо фіксованої осі з кутовою швидкістю , визначити за формулою Ейлера

,

отже

.

Таким чином момент імпульсу системи

,

а рівняння про зміну моменту імпульсу приймає вид

.

Розділимо змінні та про інтегруємо праву та ліву частини рівняння

,

та отримуємо

.

Підставляючи чисельні значення, знаходимо

(рад/c).

Після того, як перестав діяти момент зовнішніх сил диск обертається за інерцією. Така ситуація дає можливість скористатись теоремою про збереження моменту імпульсу відносно цієї осі

,

де та - відповідно - компоненти початкового і кінцевого моменту імпульсу системи. Прирівнюючи відповідні вирази маємо

= ,

що дозволяє отримати вираз для розрахунку кінцевої кутової швидкості обертання диску

.

Підставляючи чисельні значення, отримуємо

(рад/c).

Відповідь: = 4,6 рад/с.

Приклад 2. Диск масою = 300 кг і радіуса = 8 м обертається навколо фіксованої осі, яка проходить через його центр перпендикулярно до його площини з кутовою швидкістю = 5 рад/с (рис. 15). На відстані = 7 м від центру диску в стані спокою знаходиться механізм масою =100 кг. В момент часу = 0 механізм починає рухатись вздовж кола незмінного радіуса за законом в напрямі обертання диску (відстань в метрах, час в секундах). Вважаючи механізм матеріальною точкою, знайти кутову швидкість диску як функцію часу та її значення на момент часу = 2 с.

Розв’язок. Як і у попередньому випадку, легко бачити, що моменти зовнішніх сил відносно осі обертання дорівнюють нулю, що дає можливість скористатись теоремою про збереження моменту імпульсу відносно цієї осі

,

де та початковий і кінцевий моменти імпульсу системи відповідно.

Момент імпульсу твердого тіла (диску), момент інерції якого відносно осі та який обертається навколо неї з кутовою швидкістю , відомий, тому

.

Момент імпульсу матеріальної точки, згідно з визначенням:

,

де - радіус-вектор, який проведено від осі обертання до точки, а - абсолютна швидкість точки. На відміну від попереднього прикладу, тепер абсолютна швидкість точки складається зі швидкості відносного руху точки та переносної швидкості , яку має будь-яка точка диску завдяки обертанню диска з кутовою швидкістю , яку знаходимо за теоремою про швидкість складного руху

,

тому

.

Швидкість переносної руху точки у довільний момент часу

,

а модуль відносної швидкості визначимо як першу похідну відносного переміщення точки за часом

.

Оскільки ця швидкість спрямована по дотичній до кола радіуса , тому з врахуванням напряму руху точки та обертання диску для абсолютної швидкості точки отримуємо

.

Підставляючи отриманий вираз, знаходимо вираз для кінцевого значення моменту імпульсу точки

.

Скористуємось тим, що напрями початкової кутової швидкості та осі співпадають, і запишемо початковий момент імпульсу системи в вигляді

.

Запишемо вираз для кінцевого значення моменту імпульсу системи, вважаючи, що напрям обертання не змінився. Тоді

,

де - кінцева кутова швидкість обертання диску.

Прирівнявши вирази які визначають закон збереження - компоненти моменту імпульсу механічної системи отримуємо вираз для розрахунку кінцевої кутової швидкості диску

.

Підставимо дані задачі та отримаємо значення для кінцевої кутової швидкості диску:

= 3,6 (рад/с).

Відповідь: = 3,6 рад/с.

Самостійно проаналізуйте задачу, коли відносна швидкість механізму протилежна переносній швидкості точок диска, де він знаходиться.