Даны утверждения

A (n): «число n делится на 3»,

B (n): «число n делится на 2»,

C (n): «число n делится на 4»,

D (n): «число n делится на 6»,

E (n): «число n делится на 12».

Укажите, какие из следующих утверждений истинны, какие ложны:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) ;

7) .

15. Пусть предикат P (x,y) определен на множестве M = N N и означает «x < y».

1) Какие из следующих предикатов тождественно истинные и какие тождественно ложные:

a)

b)

c)

d)

2) Для тех предикатов из 1), которые не являются ни тождественно истинными, ни тождественно ложными, указать область истинности и область ложности.

3) Какие из следующих предложений истинны и какие ложны:

a)

b)

c)

d)

e))

f)

g)

h)

16. Показать, что кванторы общности и существования не перестановочны, то-есть высказывания и могут, вообще говоря, иметь различные значения.

17. Среди следующих пар предикатов выберите те, в которых предикаты являются отрицаниями друг друга:

1) «a < b» и «b < a»;

2) «Треугольник ABC прямоугольный» и «Треугольник ABC тупоугольный»;

3) «Целое число k четно» и «Целое число k нечетно»;

4)) «Функция f нечетна» и «Функция f четна»;

5) «Натуральное число n – простое» и «Натуральное число n – составное»

18. Доказать следующие равносильности:

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

11)

19. Найти отрицания следующих формул:

1)

2)

3)

4)

5)

6)

20. Пусть A (x) и B (x) – любые предикаты. Какие из следующих формул равносильны формуле (*)?

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

21. Доказать, что для любой формулы логики предикатов можно построить ей равносильную формулу, не содержащую:

1) кванторов существования;

2) кванторов общности.

22. Доказать, что формулы и не равносильны.

23. Доказать, что формулы и не равносильны.

24. Доказать что:

1)

2)

3) Можно ли в 1) и 2) заменить F (x)и G (y) двухместными предикатами, зависящими от x и y?

25. Пусть A (x) и B (x) два одноместных предиката, определенных на множестве M таких, что высказывание истинно. Доказать, что высказывание ложно.