Тема 7. Ряды динамики

Ряды динамики характеризуют изменение уровней показателя во времени.

Ряды динамики подразделяются на ряды абсолютных, относительных и средних величин.

В зависимости от того, выражают уровни ряда состояния явления на определённые моменты времени (на начало месяца, квартала, года и т.д.) или его величину за определённые интервалы времени (сутки, месяц, год и т.д.), различают соответственно моментные и интервальные ряды динамики.

Ряды динамики могут быть с равностоящими и неравностоящими уровнями.

Ряды динамики характеризуются следующими абсолютными и относительными показателями:

Наименование показателя	Метод расчета
С переменной базой сравнения (цепные)	С постоянной базой сравнения (базисные)
1. Абсолютный прирост
Коэффициент роста	Кр=	Кр=
Темп роста	Тр=Кр*100	Тр=Кр*100
Темп прироста	Тпр=(Кр-1)*100 Тпр=Тр-100 Тпр=	Тпр=(Кр-1)*100 Тпр=Тр-100 Тпр=
Абсолютное значение 1% прироста (А)	А= А=0,01*Уi-1	-

Для обобщающей характеристики динамики изучаемого явления рассчитываются следующие средние показатели динамики:

Наименование показателя	Метод расчета
Средний уровень ряда динамики а) для интервального ряда	=
б) для моментного ряда с равными интервалами	=
в) для моментного ряда с неравными интервалами	=
Средний абсолютный прирост	= или =
Средний коэффициент роста	= = =
Средний темп роста
Средний темп прироста	= -100
Средняя величина абсолютного значения 1% прироста	=

При изучении в рядах динамики основной тенденции развития явления применяются следующие приёмы и методы:

1. Метод укрупнения интервалов основан на укрупнении периодов времени, к которым относятся уровни ряда.

2. Метод скользящей средней основан на замене абсолютных данных средними арифметическими за определённые периоды. Расчёт средних ведётся способом скольжения, т.е. постепенным исключением из принятого периода скольжения первого уровня и включением следующего.

3. Метод аналитического выравнивания, при котором уровни ряда динамики выражаются в виде функции времени.

Решение типовых примеров

Пример 1

Добыча каменного угля в регионе А характеризуется следующими данными, представленными в табл. 1.

Таблица 1 - Сведения о добыче каменного угля

Для анализа динамики добычи угля за 2007 - 2012 г. исчислить:

1. Абсолютные приросты, темпы роста и темпы прироста по годам и к 2007 г., абсолютное содержание 1% прироста.

2. Среднегодовую добычу каменного угля.

3.Среднегодовой абсолютный прирост добычи каменного угля;

4. Среднегодовые темпы роста и пророста за 2007 – 2012 г. Сопоставить полученные данные. Полученные показатели представить в виде таблицы.

Решение. Цепные абсолютные приросты исчисляют как разность между последующим и предыдущим уровнем

Определим цепные абсолютные приросты:

2008 г. 544 - 553 = - 9 млн. т.

2009 г. 555 - 544 = 11 млн. т.

2010 г. 558 - 555 = 3 млн. т.

2011 г. 556 - 558 = - 2млн.т.

2012 г. 569 - 556 = 13 млн. т.

Базисные абсолютные приросты исчисляются как разность между последующим и одним и тем же уровнем, принятым за базу сравнения.

.

Определим базисные абсолютные приросты:

2008 г. 544 - 553 = -9 млн.т.

2009 г. 555 - 553 = 2 млн. т.

2010 г. 558 - 553 = 5 млн.т.

2011 г. 556 - 553 = 3 млн.т.

2012 г. 569 - 553 = 16 млн.т.

Цепной абсолютный прирост показывает, что добыча каменного угля в регионе в 2000 г. по сравнению с 1999 г. возрос на 13 млн., а по сравнению с 1995г., на 16 млн.т. (базисный прирост).

Цепные темпы роста - это отношения последующего уровня к предыдущему:

Определим цепные темпы роста

Из полученных данных видно, что добыча каменного угля в 2008 г. и 2012 г. снижается, а не растет по сравнению с предыдущими годами.

Базисные темпы роста рассчитывается как отношение уровней ряда к одному и тому же уровню, взятому за базу сравнения.

Определим базисные темпы роста:

На основании полученных данных можно сделать вывод, что добыча каменного угля по сравнению с 2007 годом растет, кроме 2009 года, когда добыча снизилась не значительно и составила 98,4% против 2007 года.

Темп прироста (Т_пр) - это отношение абсолютного прироста к базисному уровню. Темп прироста выражается в коэффициентах и в процентах. Он показывает на сколько процентов увеличился (уменьшился) уровень ряда по сравнению с уровнем, принятым за базу сравнения.

, поскольку D у = у_n - у ₁

то или

Т_пр = Т_р - 100%

Рассчитаем цепные темпы прироста:

2008 г. 98,37 - 100 = - 1,63 (темп снижения)

2009 г. 102,02 - 100 = 2,02%

2010 г. 100,54 - 100 = 0,54

2011 г. 99,64 - 100 = 0,36%

2012 г. 102,34 - 100 = 2,34%

Цепные темпы прироста показывают на сколько процентов увеличилась (уменьшилась) добыча угля по сравнению с предыдущим годом.

Рассчитаем базисные темпы прироста (в %).

2008 г. 98,37 - 100 = -1,63

2009 г. 100,36 - 100 = 0,36

2010 г. 100,90 - 100 = 0,90%

2011 г. 100,54 - 100 = 0,54%

2012 г. 102,89 - 100 = 2,89%

Базисные темпы прироста показывают, на сколько процентов увеличилась добыча угля в регионе “А” в каждом году по сравнению с 2007 годом.

Абсолютное значение одного процента прироста показывает, какая абсолютная величина скрывается за относительным показателем - одним процентом прироста т.е., абсолютное содержание одного процента прироста можно вычислить как сотую долю предшествующего уровня:

2008 г. 553: 100 = 5,53 млн.т.

2009 г. 544: 100 = 5,44 млн.т.

2010 г. 555: 100 = 5,55 млн.т.

2011 г. 558: 100 = 5,58 млн.т.

2012 г. 556: 100 = 5,56 млн.т.

Результаты расчетов показателей динамики представим в виде таблицы.

Таблица 2

Таблица 2 - Показатели динамики добычи каменного угля в регионе “А”

за 2007– 2012 г.г.

Из таблицы видно, что добыча каменного угля в регионе “А” за 2007 г. – 2012 г. подвержена резким колебаниям. Два года 2008, 2009 добыча снижалась против предыдущих к ним годам, однако, абсолютное содержание одного процента прироста увеличивается. Среднегодовая добыча угля исчисляется по формуле простой арифметической:

млн. т

Из приведенного расчета видно, что среднегодовая добыча каменного угля составила 555,8 млн.т.

Среднегодовой абсолютный прирост - есть средняя из абсолютных приростов за равные промежутки времени одного периода

В нашей задаче

млн.т.

Среднегодовой темп роста уровней динамического ряда исчисляется по формуле средней геометрической:

где

П - знак произведения;

Т_{р 1}, Т_{р 2}..... Т_рm - цепные темпы роста, выраженные в коэффициентах.

Подставим в формулу рассчитанные ранее значения цепных темпов роста, получим

или 100,6%

Зная, что произведение цепных темпов роста равно соответствующему базисному, для расчета среднего темпа роста применяют следующую формулу.

где

y_п - конечный уровень ряда;

y ₁ – базисный уровень ряда;

или 100,6 %.

Таким образом, можно сделать вывод, что добыча каменного угля за ежегодно незначительно увеличивается.

Среднегодовой темп роста составил 100,6%.

Среднегодовой темп прироста определяется как разность между среднегодовым темпом роста и 1 или 100%;

Т_пр = Т_р – 1 (если темпы роста выражены в коэффициентах);

Т_пр = Т_р – 100% (если темпы роста выражены в процентах).

Используя приведенные формулы определим среднегодовой темп прироста.

Т_пр = 100,6 – 100 = 0,6%

Это значит, что ежегодный прирост добычи каменного угля составил в среднем 0,6%.

Пример 2

Имеются следующие данные о численности рабочих по участкам цеха, представленные в таб. 3.

Таблица 3 - Численность рабочих цеха по участкам

Вычислите среднесписочное число рабочих за 1 квартал по каждому участку цеха и по цеху в целом.

Решение. По условию задачи дан моментный ряд динамики с равностоящими датами времени. Средний уровень в таких рядах определяется по формуле средней хронологической:

Среднесписочное число рабочих по участку №1 равно:

(чел.);

по участку №2

(чел.).