Задача о размещении производства

Распределитель производства трех видов товаров Т_1,Т_2, Т₃ среди пяти предприятий П_1, П_2, П_3, П_4, П₅ с целью получения максимальной прибыли от продажи товаров со следующими данными:

издержки производства c_ijединицы товара (руб.)

затраты по сбыту d_ijединицы товара (руб.)

годовой спрос и цена товара (руб.)

Решение:

1.Экономико – математическая постановка задачи. Расчет прибыли для каждой пары «товар – производитель» T_i, П_j определяем по следующей модели: прибыль = цена – издержки – затраты:

h_ij= P_j - (c_ij+ d_ij)

Например, для пары Т₁– П₁ получим:

h₁₁= 60- (20+20)=20, и т.д.

Получим следующую матрицу

Формируем матрицу годовой прибыли с учетом спроса:

H_ij= h_ij*Q_i,(тыс.руб.)

Для пары Т₁– П₁:

H₁₁ = 20*40000 = 800 тыс. руб. и т.д.

Получаем следующую матрицу:

2. Модифицируем матрицу умножением всех элементов на (- 1) и сложением с максимальным числом матрицы (8000) и для устранения дисбаланса вводим два вида Т_4, Т₅ фиктивной продукции с нулевой прибылью, поскольку матрица должна быть квадратной:

3. Редуцируем матрицу по строкам и столбцам:

600 2000 1400 0 1000

1000 19000 0 11000 14000

180 480 0 780 480

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

4. Модифицируем матрицу путем исключения строк 4,5 и столбцов 3,4, получим сокращенную матрицу:

600 2000 1000 420 1820 820

1000 19000 14000 - 180 = 820 18820 13820

180 480 480 0 300 300

Затем определяем в ней минимальный элемент 180, вычитаем его из всех элементов этой матрицы и суммируем его с элементами, находящимися на пересечениях исключаемых строк и столбцов редуцированной матрицы, объединяем результаты и получаем эквивалентную матрицу

420 1820 1400 0 820

820 18820 0 11000 13820

С₃ = 0 300 0 780 300

0 0 180 180 0

0 0 180 180 0

по которой строим матрицу назначения:

420 1820 1400 0 820

820 18820 0 11000 13820

0 300 0 780 300

0 0 0 1 0

0 0 1 0 0

1 0 0 0 0

и по ней, наложив на матрицу исходных данных, определяем максимальное значение прибыли:

П_max= 1400+8000+1800= 11,2 млн. руб.

Таким образом, оптимальное решение данной задачи следующие: производство первого вида продукции назначается предприятию 4, второго вида - предприятию 3, третьего вида – предприятию 1. На предприятиях 2 и 5 производить данную продукцию нецелесообразно.