Взаимно корреляционная функция

Во многих задачах можно встретиться с тем, что имеются 2 случайных процесса, которые оказывают влияние друг на друга. Это влияние может быть оценено с помощью взаимной корреляционной функции, которая определяется по формуле (4).

Здесь X(t) и Y(t)—два случайных процесса:

; .

Рассмотрим случайный процесс Z(t), равный алгебраической сумме случайных процессов X(t) и Y(t):

(5).

Найдем корреляционную функцию для процесса Z(t):

.

Таким образом, . (6)

В случае, если случайные функции X(t) и Y(t) не коррелирован ны, то при и t₂ , взаимно корреляционная функция случайных функций тождественно равна нулю и (7), т.е. корреляционная функция алгебраической суммы некоррелированных функций равна сумме их корреляционных функций.

Если , то (8).

При некоррелированности слагаемых имеем (9).

Пример 1. Пусть случайный процесс определяется формулой , , где X,Y—случайные величины. Требуется найти основные характеристики этого процесса, если .

На основании свойств математического ожидания и дисперсии имеем:

;

.

Корреляционная функция находится по формуле (1).

.

; , .

Пример 2. Пусть X и Y—некоррелированные случайные величины, , . Требуется найти корреляционную функцию для случайного процесса .

.