Частные производные высших порядков

Пусть функция в некоторой окрестности точки имеет частные производные

или в других обозначениях

Частные производные являются функциями и , которые, в свою очередь, могут иметь частные производные

Если это так, то последние называются частными производными 2–го порядка функции и обозначаются соответственно:

Аналогично определяются частные производные более высоких порядков.

Частные производные, образованные дифференцированием по различным аргументам, называются смешанными частными производными. Например, смешанные производные 2–го порядка функции двух переменных суть и

Среди смешанных производных одного порядка выделяют производные:

1) отличающиеся количеством дифференцирований по одноименным аргументам (например, и ;

2) отличающиеся лишь порядком дифференцирования по аргументам (например, ).

Теорема о равенстве смешанных частных производных:

Теорема: Если смешанные частные производные, отличающиеся лишь порядком дифференцирования, непрерывны в некоторой точке, то их значения в этой точке равны.