Теорема существования и дифференцируемости функции, заданной неявно

Теорема 1. Пусть функция удовлетворяет условиям

1) ;

2) частные производные и непрерывны в некоторой окрестности точки ;

3) .

Тогда

1) уравнение определяет неявно в некоторой окрестности точки единственную непрерывную функцию , удовлетворяющую условию .

2) функция имеет производную, непрерывную в окрестности точки .

Выясним смысл условий теоремы.

Существование непрерывной неявной функции в окрестности точки следует из теоремы существования, так как:

· условие 1 гарантирует существование точки, координаты которой удовлетворяют уравнению ;

· из условия 2 следует непрерывность функции в окрестности точки , а из условия 3 — ее монотонность по при каждом фиксированном из этой окрестности.

Следовательно, условия 1–3 обеспечивают выполнение условий существования неявной функции , удовлетворяющей условию и непрерывной в окрестности точки .