Геометрический смысл полного дифференциала функции двух переменных

Пусть функция дифференцируема в точке . Ее графиком является поверхность

Положим . Тогда точка принадлежит поверхности.

Частные производные функции суть

и в точке :

1) они непрерывны;

2) .

Следовательно, — обыкновенная точка поверхности и в этой точке существует касательная плоскость к поверхности. Согласно (19), уравнение касательной плоскости имеет вид:

Рис.12

Вертикальное смещение точки на касательной плоскости при переходе из точки в произвольную точку есть (рис. 12). Соответствующее приращение аппликаты есть

Здесь в правой части стоит дифференциал функции в точке . Следовательно,
есть приращение аппликаты точки плоскости касательной к графику функции в точке .

Из определения дифференциала следует, что расстояние между точкой на графике функции и точкой на касательной плоскости есть бесконечно малая более высокого порядка, чем расстояние от точки до точки .