Условия дифференцируемости

Пусть функция определена в некоторой окрестности точки .

Определение 1. Функция называется дифференцируемой в точке , если ее полное приращение

можно представить в виде

где — некоторые числа, не зависящие от — функции , бесконечно малые при и равные нулю при .

— расстояние между точками и . Тогда определение (1) можно записать в форме:

где при и .

Выражение

— линейная часть приращения относительно , — бесконечно малая более высокого порядкамалости, чем .

Определение 2. Если функция дифференцируема в точке , то линейная часть ее приращения относительно называется дифференциалом (или полным дифференциалом) функции в точке .

Таким образом

Теорема 1. Если функция дифференцируема в точке, то она непрерывна в этой точке.

Необходимое условие дифференцируемости:

Теорема 2. Если функция дифференцируема в точке , то в этой точке существуют частные производные по каждому аргументу , причем

где — числа в определении (1).

Из этой теоремы следует, что приращение дифференцируемой функции можно записать в виде

и ее дифференциал

Пример:

Вычислить приближенные значения:

1) 1,08^3,96;

2)

Решение:

Если требуется вычислить значение функции в точке и если проще вычислить значения этой функции и ее частных производных в точке , то при достаточно малых, по абсолютной величине, значениях разностей можно заменить полное приращение функции ее полным дифференциалом:

Это позволяет найти приближенное значение искомой величины по формуле

1) Полагая, что 1,08^3,96 есть частное значение функции

В точке М(1,08; 3,96) и что вспомогательная точка будет М₀(1;4), вычислим:

Подставляя в формулу, найдем искомое значение:

2) Пусть