Непрерывность функции нескольких переменных

Пусть функция переменных определена в некоторой окрестности точки (включая саму точку ).

Определение 1. Функция называется непрерывной в точке , если она определена в точке

Обозначим приращения аргументов символами

Соответствующее приращение функции

называется полным приращением функции в точке , соответствующая приращению

Условие, определяющее непрерывную функцию в точке аналогично условию – функция определена в точке и

т.е. бесконечно малым приращениям аргументов, соответствует бесконечно малые приращения функции

Приращение функции вида

называется частным приращением функции в точке , соответствующая приращению аргумента .

Определение 2. Функция называется непрерывнойпо переменной в точке , если она определена в точке и

Свойства функций, непрерывных в ограниченной замкнутой области;

Теорема 1. Если функция непрерывна в точке , то она непрерывна в этой точке по каждой переменной .

Обратное утверждение неверно.

Теорема 2. Пусть функции и , определены в области и непрерывны в точке .

Тогда функции , · и (при непрерывны в точке

Доказательство вытекает из определения непрерывности функции в точке и теоремы о пределах суммы, произведения и частного двух функций.

Теорема 3. Всякая элементарная функция нескольких переменных непрерывна в области её определения.

Теоремы о свойствах функции одной переменной, непрерывной на отрезке, справедливы для функции нескольких переменных, непрерывной на замкнутом ограниченном множестве:

Теорема 4. Функция, непрерывная на замкнутой ограниченной области, ограничена на этойобласти.

Теорема 5 (Вейерштрасс). Функция, непрерывная в замкнутой ограниченнойобласти, имеет наибольшее и наименьшее значение.

Date: 2015-07-27; view: 389; Нарушение авторских прав